MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absz Structured version   Unicode version

Theorem absz 12888
Description: A real number is an integer iff its absolute value is an integer. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
absz  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  e.  ZZ  <->  ( abs `  A )  e.  ZZ ) )

Proof of Theorem absz
StepHypRef Expression
1 eleq1 2520 . . . 4  |-  ( ( abs `  A )  =  A  ->  (
( abs `  A
)  e.  ZZ  <->  A  e.  ZZ ) )
21bicomd 201 . . 3  |-  ( ( abs `  A )  =  A  ->  ( A  e.  ZZ  <->  ( abs `  A )  e.  ZZ ) )
32a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( abs `  A
)  =  A  -> 
( A  e.  ZZ  <->  ( abs `  A )  e.  ZZ ) ) )
4 recn 9459 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
5 znegclb 10769 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  ZZ  <->  -u A  e.  ZZ ) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  e.  ZZ  <->  -u A  e.  ZZ ) )
7 eleq1 2520 . . . 4  |-  ( ( abs `  A )  =  -u A  ->  (
( abs `  A
)  e.  ZZ  <->  -u A  e.  ZZ ) )
87bibi2d 318 . . 3  |-  ( ( abs `  A )  =  -u A  ->  (
( A  e.  ZZ  <->  ( abs `  A )  e.  ZZ )  <->  ( A  e.  ZZ  <->  -u A  e.  ZZ ) ) )
96, 8syl5ibrcom 222 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( abs `  A
)  =  -u A  ->  ( A  e.  ZZ  <->  ( abs `  A )  e.  ZZ ) ) )
10 absor 12877 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( abs `  A
)  =  A  \/  ( abs `  A )  =  -u A ) )
113, 9, 10mpjaod 381 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  e.  ZZ  <->  ( abs `  A )  e.  ZZ ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1757   ` cfv 5502   CCcc 9367   RRcr 9368   -ucneg 9683   ZZcz 10733   abscabs 12811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446  ax-pre-sup 9447
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-er 7187  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-sup 7778  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-div 10081  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-n0 10667  df-z 10734  df-uz 10949  df-rp 11079  df-seq 11894  df-exp 11953  df-cj 12676  df-re 12677  df-im 12678  df-sqr 12812  df-abs 12813
This theorem is referenced by:  nn0abscl  12889  pellexlem6  29299  modabsdifz  29458
  Copyright terms: Public domain W3C validator