Theorem absval 8012

Description: The absolute value (modulus) of a complex number. Proposition 10-3.7(a) of [Gleason] p. 133.

Assertion

Ref	Expression
absval	|- (A e. CC -> (abs` A) = (sqr` (A x. (*` A))))

Proof of Theorem absval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 73	. . . 4 |- (x = A -> x = A)
2		fveq2 4681	. . . 4 |- (x = A -> (*` x) = (*` A))
3	1, 2	opreq12d 4900	. . 3 |- (x = A -> (x x. (*` x)) = (A x. (*` A)))
4	3	fveq2d 4685	. 2 |- (x = A -> (sqr` (x x. (*` x))) = (sqr` (A x. (*` A))))
5		df-abs 8004	. 2 |- abs = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (sqr` (x x. (*` x))))}
6		fvex 4689	. 2 |- (sqr` (A x. (*` A))) e. _V
7	4, 5, 6	fvopab4 4743	1 |- (A e. CC -> (abs` A) = (sqr` (A x. (*` A))))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1298   e. wcel 1300  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384   x. cmul 6391  sqrcsqr 7919  *ccj 7999  abscabs 8000

This theorem is referenced by:  absneg 8083  abscl 8084  abscj 8085  absvalsq 8086  absge0i 8091  absval2i 8092  absmuli 8098  absidi 8112  absre 8117  absi 8130  absf 8158  siii 9854  norm-iii.i 10639

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-abs 8004

Copyright terms: Public domain