Theorem abstri 6988

Description: Triangle inequality for absolute value. Proposition 10-3.7(h) of [Gleason] p. 133.

Assertion

Ref	Expression
abstri	|- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (abs` (A + B)) <_ ((abs` A) + (abs` B)))

Proof of Theorem abstri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 4026	. . . 4 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (A + B) = (if(A e. CC, A, 0) + B))
2	1	fveq2d 3785	. . 3 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (abs` (A + B)) = (abs` (if(A e. CC, A, 0) + B)))
3		fveq2 3781	. . . 4 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (abs` A) = (abs` if(A e. CC, A, 0)))
4	3	opreq1d 4033	. . 3 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> ((abs` A) + (abs` B)) = ((abs` if(A e. CC, A, 0)) + (abs` B)))
5	2, 4	breq12d 2686	. 2 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> ((abs` (A + B)) <_ ((abs` A) + (abs` B)) <-> (abs` (if(A e. CC, A, 0) + B)) <_ ((abs` if(A e. CC, A, 0)) + (abs` B))))
6		opreq2 4027	. . . 4 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (if(A e. CC, A, 0) + B) = (if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0)))
7	6	fveq2d 3785	. . 3 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (abs` (if(A e. CC, A, 0) + B)) = (abs` (if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0))))
8		fveq2 3781	. . . 4 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (abs` B) = (abs` if(B e. CC, B, 0)))
9	8	opreq2d 4034	. . 3 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> ((abs` if(A e. CC, A, 0)) + (abs` B)) = ((abs` if(A e. CC, A, 0)) + (abs` if(B e. CC, B, 0))))
10	7, 9	breq12d 2686	. 2 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> ((abs` (if(A e. CC, A, 0) + B)) <_ ((abs` if(A e. CC, A, 0)) + (abs` B)) <-> (abs` (if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0))) <_ ((abs` if(A e. CC, A, 0)) + (abs` if(B e. CC, B, 0)))))
11		0cn 5393	. . . 4 |- 0 e. CC
12	11	elimel 2446	. . 3 |- if(A e. CC, A, 0) e. CC
13	11	elimel 2446	. . 3 |- if(B e. CC, B, 0) e. CC
14	12, 13	abstrii 6981	. 2 |- (abs` (if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0))) <_ ((abs` if(A e. CC, A, 0)) + (abs` if(B e. CC, B, 0)))
15	5, 10, 14	dedth2h 2439	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (abs` (A + B)) <_ ((abs` A) + (abs` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999  ifcif 2413   class class class wbr 2674  ` cfv 3239  (class class class)co 4021  CCcc 5297  0cc0 5299   + caddc 5302   <_ cle 5360  abscabs 6840

This theorem is referenced by:  abs3dif 6989  caubndi 7016  ser1absdiflem 7019  fsumabs 7133  2climnni 7192  2climnn0i 7193  climaddlem3 7206  climmullem3 7212  climmullem5 7214  climcaui 7246  caucvgi 7253  serzf0i 7259  ser1f0i 7260  cnnv 8391

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-inf2 4687

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-nel 1635  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-en 4429  df-dom 4430  df-sdom 4431  df-sup 4634  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-mp 5154  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-mpr 5230  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-mr 5234  df-ltr 5235  df-0r 5236  df-1r 5237  df-m1r 5238  df-c 5305  df-0 5306  df-1 5307  df-i 5308  df-r 5309  df-plus 5310  df-mul 5311  df-lt 5312  df-sub 5421  df-neg 5423  df-pnf 5552  df-mnf 5553  df-xr 5554  df-ltxr 5555  df-le 5556  df-div 5768  df-n 5985  df-2 6031  df-n0 6182  df-z 6218  df-seq1 6567  df-exp 6658  df-sqr 6760  df-re 6841  df-im 6842  df-cj 6843  df-abs 6844

Copyright terms: Public domain