Theorem abstri 7945

Description: Triangle inequality for absolute value. Proposition 10-3.7(h) of [Gleason] p. 133.

Assertion

Ref	Expression
abstri	|- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (abs` (A + B)) <_ ((abs` A) + (abs` B)))

Proof of Theorem abstri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 4700	. . . 4 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (A + B) = (if(A e. CC, A, 0) + B))
2	1	fveq2d 4496	. . 3 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (abs` (A + B)) = (abs` (if(A e. CC, A, 0) + B)))
3		fveq2 4492	. . . 4 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (abs` A) = (abs` if(A e. CC, A, 0)))
4	3	opreq1d 4708	. . 3 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> ((abs` A) + (abs` B)) = ((abs` if(A e. CC, A, 0)) + (abs` B)))
5	2, 4	breq12d 3171	. 2 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> ((abs` (A + B)) <_ ((abs` A) + (abs` B)) <-> (abs` (if(A e. CC, A, 0) + B)) <_ ((abs` if(A e. CC, A, 0)) + (abs` B))))
6		opreq2 4701	. . . 4 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (if(A e. CC, A, 0) + B) = (if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0)))
7	6	fveq2d 4496	. . 3 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (abs` (if(A e. CC, A, 0) + B)) = (abs` (if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0))))
8		fveq2 4492	. . . 4 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (abs` B) = (abs` if(B e. CC, B, 0)))
9	8	opreq2d 4709	. . 3 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> ((abs` if(A e. CC, A, 0)) + (abs` B)) = ((abs` if(A e. CC, A, 0)) + (abs` if(B e. CC, B, 0))))
10	7, 9	breq12d 3171	. 2 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> ((abs` (if(A e. CC, A, 0) + B)) <_ ((abs` if(A e. CC, A, 0)) + (abs` B)) <-> (abs` (if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0))) <_ ((abs` if(A e. CC, A, 0)) + (abs` if(B e. CC, B, 0)))))
11		0cn 6277	. . . 4 |- 0 e. CC
12	11	elimel 2849	. . 3 |- if(A e. CC, A, 0) e. CC
13	11	elimel 2849	. . 3 |- if(B e. CC, B, 0) e. CC
14	12, 13	abstrii 7938	. 2 |- (abs` (if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0))) <_ ((abs` if(A e. CC, A, 0)) + (abs` if(B e. CC, B, 0)))
15	5, 10, 14	dedth2h 2839	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (abs` (A + B)) <_ ((abs` A) + (abs` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 239   = wceq 1136   e. wcel 1138  ifcif 2806   class class class wbr 3158  ` cfv 3809  (class class class)co 4695  CCcc 6180  0cc0 6182   + caddc 6185   <_ cle 6244  abscabs 7795

This theorem is referenced by:  abs3dif 7946  caubndi 7973  ser1absdiflem 7976  fsumabs 8098  2climnn 8157  2climnn0 8158  climaddlem3 8171  climmullem3 8177  climmullem5 8179  climcaui 8211  caucvgi 8218  serzf0i 8224  cnnv 9434

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1142  ax-gen 1143  ax-8 1144  ax-9 1145  ax-10 1146  ax-11 1147  ax-12 1148  ax-13 1149  ax-14 1150  ax-17 1155  ax-4 1157  ax-5o 1159  ax-6o 1162  ax-9o 1319  ax-10o 1338  ax-16 1418  ax-11o 1426  ax-ext 1702  ax-rep 3243  ax-sep 3253  ax-nul 3260  ax-pow 3296  ax-pr 3339  ax-un 3601  ax-inf2 5540

This theorem depends on definitions:  df-bi 163  df-or 240  df-an 241  df-3or 856  df-3an 857  df-ex 1165  df-sb 1374  df-eu 1613  df-mo 1614  df-clab 1709  df-cleq 1714  df-clel 1717  df-ne 1856  df-nel 1857  df-ral 1943  df-rex 1944  df-reu 1945  df-rab 1946  df-v 2127  df-sbc 2287  df-csb 2374  df-dif 2430  df-un 2433  df-in 2436  df-ss 2438  df-pss 2440  df-nul 2702  df-if 2807  df-pw 2859  df-sn 2873  df-pr 2874  df-tp 2876  df-op 2877  df-uni 3000  df-int 3037  df-iun 3079  df-br 3159  df-opab 3214  df-tr 3230  df-eprel 3398  df-id 3401  df-po 3406  df-so 3419  df-fr 3440  df-we 3459  df-ord 3475  df-on 3476  df-lim 3477  df-suc 3478  df-om 3761  df-xp 3811  df-rel 3812  df-cnv 3813  df-co 3814  df-dm 3815  df-rn 3816  df-res 3817  df-ima 3818  df-fun 3819  df-fn 3820  df-f 3821  df-f1 3822  df-fo 3823  df-f1o 3824  df-fv 3825  df-opr 4697  df-oprab 4698  df-mpt 4817  df-1st 4831  df-2nd 4832  df-iota 4900  df-rdg 4951  df-1o 4988  df-oadd 4990  df-omul 4991  df-er 5129  df-ec 5131  df-qs 5134  df-en 5238  df-dom 5239  df-sdom 5240  df-undef 5367  df-riota 5371  df-sup 5474  df-ni 5948  df-pli 5949  df-mi 5950  df-lti 5951  df-plpq 5983  df-mpq 5984  df-enq 5985  df-nq 5986  df-plq 5987  df-mq 5988  df-rq 5989  df-ltq 5990  df-1q 5991  df-np 6034  df-1p 6035  df-plp 6036  df-mp 6037  df-ltp 6038  df-plpr 6112  df-mpr 6113  df-enr 6114  df-nr 6115  df-plr 6116  df-mr 6117  df-ltr 6118  df-0r 6119  df-1r 6120  df-m1r 6121  df-c 6188  df-0 6189  df-1 6190  df-i 6191  df-r 6192  df-plus 6193  df-mul 6194  df-lt 6195  df-sub 6307  df-neg 6309  df-pnf 6450  df-mnf 6451  df-xr 6452  df-ltxr 6453  df-le 6454  df-div 6688  df-n 6903  df-2 6949  df-n0 7104  df-z 7140  df-seq1 7516  df-exp 7607  df-sqr 7715  df-re 7796  df-im 7797  df-cj 7798  df-abs 7799

Copyright terms: Public domain