MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abssubd Structured version   Unicode version

Theorem abssubd 13233
Description: Swapping order of subtraction doesn't change the absolute value. Example of [Apostol] p. 363. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
abssubd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
abssubd  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  =  ( abs `  ( B  -  A
) ) )

Proof of Theorem abssubd
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 abssubd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 abssub 13108 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  =  ( abs `  ( B  -  A
) ) )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  =  ( abs `  ( B  -  A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479    - cmin 9794   abscabs 13017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-2 10583  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-abs 13019
This theorem is referenced by:  rlimuni  13322  climuni  13324  2clim  13344  rlimrecl  13352  subcn2  13366  reccn2  13368  climcau  13442  caucvgrlem  13444  serf0  13452  mertenslem2  13646  xrsxmet  21042  elcncf2  21122  cnllycmp  21184  dvlip  22122  c1lip1  22126  dvfsumrlim2  22161  dvfsum2  22163  ftc1a  22166  aalioulem3  22457  ulmcaulem  22516  ulmcau  22517  ulmbdd  22520  ulmcn  22521  ulmdvlem1  22522  logcnlem4  22747  ssscongptld  22877  chordthmlem3  22886  chordthmlem4  22887  ftalem2  23068  logfacrlim  23220  dchrisumlem3  23397  dchrisum0lem1b  23421  mulog2sumlem2  23441  pntrlog2bndlem3  23485  smcnlem  25133  lgamucov  28070  ftc1anclem8  29525  irrapxlem3  30215  irrapxlem5  30217  pell14qrgt0  30250  acongeq  30376  limcrecl  30990  islpcn  31000  lptre2pt  31001  0ellimcdiv  31010  limclner  31012  dvbdfbdioolem2  31078  ioodvbdlimc1lem1  31080  ioodvbdlimc1lem2  31081  ioodvbdlimc2lem  31083  fourierdlem42  31268  fourierdlem45  31271
  Copyright terms: Public domain W3C validator