MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abssubd Structured version   Unicode version

Theorem abssubd 12922
Description: Swapping order of subtraction doesn't change the absolute value. Example of [Apostol] p. 363. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
abssubd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
abssubd  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  =  ( abs `  ( B  -  A
) ) )

Proof of Theorem abssubd
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 abssubd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 abssub 12797 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  =  ( abs `  ( B  -  A
) ) )
41, 2, 3syl2anc 654 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  =  ( abs `  ( B  -  A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1362    e. wcel 1755   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9267    - cmin 9582   abscabs 12706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-2 10367  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-abs 12708
This theorem is referenced by:  rlimuni  13011  climuni  13013  2clim  13033  rlimrecl  13041  subcn2  13055  reccn2  13057  climcau  13131  caucvgrlem  13133  serf0  13141  mertenslem2  13327  xrsxmet  20227  elcncf2  20307  cnllycmp  20369  dvlip  21306  c1lip1  21310  dvfsumrlim2  21345  dvfsum2  21347  ftc1a  21350  aalioulem3  21684  ulmcaulem  21743  ulmcau  21744  ulmbdd  21747  ulmcn  21748  ulmdvlem1  21749  logcnlem4  21974  ssscongptld  22104  chordthmlem3  22113  chordthmlem4  22114  ftalem2  22295  logfacrlim  22447  dchrisumlem3  22624  dchrisum0lem1b  22648  mulog2sumlem2  22668  pntrlog2bndlem3  22712  smcnlem  23914  lgamucov  26871  ftc1anclem8  28315  irrapxlem3  29007  irrapxlem5  29009  pell14qrgt0  29042  acongeq  29168
  Copyright terms: Public domain W3C validator