MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abssub Structured version   Unicode version

Theorem abssub 12936
Description: Swapping order of subtraction doesn't change the absolute value. (Contributed by NM, 1-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
abssub  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  =  ( abs `  ( B  -  A
) ) )

Proof of Theorem abssub
StepHypRef Expression
1 subcl 9724 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
2 absneg 12888 . . 3  |-  ( ( A  -  B )  e.  CC  ->  ( abs `  -u ( A  -  B ) )  =  ( abs `  ( A  -  B )
) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  -u ( A  -  B )
)  =  ( abs `  ( A  -  B
) ) )
4 negsubdi2 9783 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  -> 
-u ( A  -  B )  =  ( B  -  A ) )
54fveq2d 5806 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  -u ( A  -  B )
)  =  ( abs `  ( B  -  A
) ) )
63, 5eqtr3d 2497 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  =  ( abs `  ( B  -  A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9395    - cmin 9710   -ucneg 9711   abscabs 12845
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-2 10495  df-cj 12710  df-re 12711  df-im 12712  df-abs 12847
This theorem is referenced by:  abssuble0  12938  abs2difabs  12944  fzomaxdif  12953  cau3  12965  abssubi  13012  abssubd  13061  4sqlem11  14138  cnmet  20493  cnbl0  20495  cnblcld  20496  bl2ioo  20511  addcnlem  20582  divcn  20586  cncmet  20975  volcn  21229  c1lip1  21612  lhop1lem  21628  psercn  22034  abelthlem2  22040  abelth  22049  hhcnf  25488  qqhucn  26589  ftc1anc  28646
  Copyright terms: Public domain W3C validator