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Theorem abssinper 22114
Description: The absolute value of sine has period  pi. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
abssinper  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) ) )  =  ( abs `  ( sin `  A ) ) )

Proof of Theorem abssinper
StepHypRef Expression
1 zcn 10763 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
2 halfcl 10662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  CC  ->  ( K  /  2 )  e.  CC )
3 2cn 10504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
4 picn 22056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  CC
5 mulass 9482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  /  2
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  pi  e.  CC )  ->  (
( ( K  / 
2 )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( K  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
63, 4, 5mp3an23 1307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( K  / 
2 )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( K  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
72, 6syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( ( K  / 
2 )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( K  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
8 2ne0 10526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
9 divcan1 10115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( K  /  2
)  x.  2 )  =  K )
103, 8, 9mp3an23 1307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( K  /  2
)  x.  2 )  =  K )
1110oveq1d 6216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( ( K  / 
2 )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( K  x.  pi ) )
127, 11eqtr3d 2497 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( K  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( K  x.  pi ) )
131, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( K  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( K  x.  pi ) )
1413adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) )  =  ( K  x.  pi ) )
1514oveq2d 6217 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A  +  ( ( K  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) )
1615fveq2d 5804 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( A  +  ( ( K  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) ) )
1716eqcomd 2462 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  ( A  +  ( ( K  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
1817adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  ( A  +  ( ( K  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
19 sinper 22077 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( K  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( A  +  ( ( K  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  A
) )
2019adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( A  +  ( ( K  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  A
) )
2118, 20eqtrd 2495 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  A
) )
2221fveq2d 5804 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) ) )  =  ( abs `  ( sin `  A ) ) )
23 peano2cn 9653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  CC  ->  ( K  +  1 )  e.  CC )
24 halfcl 10662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  +  1 )  e.  CC  ->  (
( K  +  1 )  /  2 )  e.  CC )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( K  +  1 )  /  2 )  e.  CC )
263, 4mulcli 9503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
27 mulcl 9478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  /  2
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  pi )  e.  CC )  ->  ( ( ( K  +  1 )  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) )  e.  CC )
2825, 26, 27sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( ( K  + 
1 )  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )
29 subadd23 9734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  pi  e.  CC  /\  (
( ( K  + 
1 )  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )  -> 
( ( A  -  pi )  +  (
( ( K  + 
1 )  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( A  +  ( ( ( ( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  -  pi ) ) )
304, 29mp3an2 1303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( ( K  +  1 )  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) )  e.  CC )  ->  ( ( A  -  pi )  +  ( ( ( K  +  1 )  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) ) )  =  ( A  +  ( ( ( ( K  + 
1 )  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) )  -  pi ) ) )
3128, 30sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( A  -  pi )  +  (
( ( K  + 
1 )  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( A  +  ( ( ( ( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  -  pi ) ) )
32 divcan1 10115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( ( K  + 
1 )  /  2
)  x.  2 )  =  ( K  + 
1 ) )
333, 8, 32mp3an23 1307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  +  1 )  e.  CC  ->  (
( ( K  + 
1 )  /  2
)  x.  2 )  =  ( K  + 
1 ) )
3423, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( ( K  + 
1 )  /  2
)  x.  2 )  =  ( K  + 
1 ) )
3534oveq1d 6216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( ( ( K  +  1 )  / 
2 )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( K  +  1 )  x.  pi ) )
36 ax-1cn 9452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
37 adddir 9489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  pi  e.  CC )  ->  (
( K  +  1 )  x.  pi )  =  ( ( K  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) ) )
3836, 4, 37mp3an23 1307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( K  +  1 )  x.  pi )  =  ( ( K  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) ) )
3935, 38eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( ( ( K  +  1 )  / 
2 )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( K  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) ) )
404mulid2i 9501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  x.  pi )  =  pi
4140oveq2i 6212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) )  =  ( ( K  x.  pi )  +  pi )
4239, 41syl6req 2512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( K  x.  pi )  +  pi )  =  ( ( ( ( K  +  1 )  /  2 )  x.  2 )  x.  pi ) )
43 mulass 9482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  /  2
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  pi  e.  CC )  ->  (
( ( ( K  +  1 )  / 
2 )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( ( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
443, 4, 43mp3an23 1307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  +  1 )  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( ( K  +  1 )  / 
2 )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( ( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
4525, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( ( ( K  +  1 )  / 
2 )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( ( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
4642, 45eqtr2d 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( ( K  + 
1 )  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( K  x.  pi )  +  pi ) )
4746oveq1d 6216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( ( ( K  +  1 )  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) )  -  pi )  =  ( ( ( K  x.  pi )  +  pi )  -  pi ) )
48 mulcl 9478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  CC  /\  pi  e.  CC )  -> 
( K  x.  pi )  e.  CC )
494, 48mpan2 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  CC  ->  ( K  x.  pi )  e.  CC )
50 pncan 9728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  x.  pi )  e.  CC  /\  pi  e.  CC )  ->  (
( ( K  x.  pi )  +  pi )  -  pi )  =  ( K  x.  pi ) )
5149, 4, 50sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( ( K  x.  pi )  +  pi )  -  pi )  =  ( K  x.  pi ) )
5247, 51eqtrd 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( ( ( K  +  1 )  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) )  -  pi )  =  ( K  x.  pi ) )
5352adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( ( ( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  -  pi )  =  ( K  x.  pi ) )
5453oveq2d 6217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( A  +  ( ( ( ( K  +  1 )  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) )  -  pi ) )  =  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) )
5531, 54eqtr2d 2496 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( A  +  ( K  x.  pi ) )  =  ( ( A  -  pi )  +  ( ( ( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
561, 55sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A  +  ( K  x.  pi ) )  =  ( ( A  -  pi )  +  ( ( ( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
5756fveq2d 5804 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  (
( A  -  pi )  +  ( (
( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
5857adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( ( K  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  (
( A  -  pi )  +  ( (
( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
59 subcl 9721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  pi  e.  CC )  -> 
( A  -  pi )  e.  CC )
604, 59mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  -  pi )  e.  CC )
61 sinper 22077 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  pi )  e.  CC  /\  (
( K  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( sin `  (
( A  -  pi )  +  ( (
( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  ( A  -  pi ) ) )
6260, 61sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( K  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( sin `  (
( A  -  pi )  +  ( (
( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  ( A  -  pi ) ) )
6362adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( ( K  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  (
( A  -  pi )  +  ( (
( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  ( A  -  pi ) ) )
64 sinmpi 22083 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  ( A  -  pi ) )  =  -u ( sin `  A ) )
6564ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( ( K  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( A  -  pi )
)  =  -u ( sin `  A ) )
6663, 65eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( ( K  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  (
( A  -  pi )  +  ( (
( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  -u ( sin `  A ) )
6758, 66eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( ( K  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) )  =  -u ( sin `  A
) )
6867fveq2d 5804 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( ( K  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) ) )  =  ( abs `  -u ( sin `  A ) ) )
69 sincl 13529 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
7069absnegd 13054 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u ( sin `  A
) )  =  ( abs `  ( sin `  A ) ) )
7170ad2antrr 725 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( ( K  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( abs `  -u ( sin `  A ) )  =  ( abs `  ( sin `  A ) ) )
7268, 71eqtrd 2495 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( ( K  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) ) )  =  ( abs `  ( sin `  A ) ) )
73 zeo 10839 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( K  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( K  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
7473adantl 466 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  / 
2 )  e.  ZZ  \/  ( ( K  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
7522, 72, 74mpjaodan 784 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) ) )  =  ( abs `  ( sin `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   CCcc 9392   0cc0 9394   1c1 9395    + caddc 9397    x. cmul 9399    - cmin 9707   -ucneg 9708    / cdiv 10105   2c2 10483   ZZcz 10758   abscabs 12842   sincsin 13468   picpi 13471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472  ax-addf 9473  ax-mulf 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-pm 7328  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-fi 7773  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-cda 8449  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-q 11066  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-ioo 11416  df-ioc 11417  df-ico 11418  df-icc 11419  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-fl 11760  df-seq 11925  df-exp 11984  df-fac 12170  df-bc 12197  df-hash 12222  df-shft 12675  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-limsup 13068  df-clim 13085  df-rlim 13086  df-sum 13283  df-ef 13472  df-sin 13474  df-cos 13475  df-pi 13477  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-hom 14382  df-cco 14383  df-rest 14481  df-topn 14482  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-topgen 14502  df-pt 14503  df-prds 14506  df-xrs 14560  df-qtop 14565  df-imas 14566  df-xps 14568  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-mnd 15535  df-submnd 15585  df-mulg 15668  df-cntz 15955  df-cmn 16401  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-met 17937  df-bl 17938  df-mopn 17939  df-fbas 17940  df-fg 17941  df-cnfld 17945  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-topsp 18640  df-cld 18756  df-ntr 18757  df-cls 18758  df-nei 18835  df-lp 18873  df-perf 18874  df-cn 18964  df-cnp 18965  df-haus 19052  df-tx 19268  df-hmeo 19461  df-fil 19552  df-fm 19644  df-flim 19645  df-flf 19646  df-xms 20028  df-ms 20029  df-tms 20030  df-cncf 20587  df-limc 21475  df-dv 21476
This theorem is referenced by:  sinkpi  22115  sineq0  22117  sineq0ALT  32006
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