Theorem abssinper 22114

Description: The absolute value of sine has period pi. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
abssinper	|- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( abs ` ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) ) = ( abs ` ( sin ` A ) ) )

Proof of Theorem abssinper

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 10763	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
2		halfcl 10662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. CC -> ( K / 2 ) e. CC )
3		2cn 10504	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
4		picn 22056	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi e. CC
5		mulass 9482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K / 2 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ pi e. CC ) -> ( ( ( K / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
6	3, 4, 5	mp3an23 1307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K / 2 ) e. CC -> ( ( ( K / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
7	2, 6	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. CC -> ( ( ( K / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
8		2ne0 10526	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 =/= 0
9		divcan1 10115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> ( ( K / 2 ) x. 2 ) = K )
10	3, 8, 9	mp3an23 1307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. CC -> ( ( K / 2 ) x. 2 ) = K )
11	10	oveq1d 6216	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. CC -> ( ( ( K / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( K x. pi ) )
12	7, 11	eqtr3d 2497	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. CC -> ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( K x. pi ) )
13	1, 12	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( K x. pi ) )
14	13	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( K x. pi ) )
15	14	oveq2d 6217	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( A + ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( A + ( K x. pi ) ) )
16	15	fveq2d 5804	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) )
17	16	eqcomd 2462	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) = ( sin ` ( A + ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
18	17	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( K / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) = ( sin ` ( A + ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
19		sinper 22077	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( K / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` A ) )
20	19	adantlr 714	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( K / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` A ) )
21	18, 20	eqtrd 2495	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( K / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) = ( sin ` A ) )
22	21	fveq2d 5804	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( K / 2 ) e. ZZ ) -> ( abs ` ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) ) = ( abs ` ( sin ` A ) ) )
23		peano2cn 9653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. CC -> ( K + 1 ) e. CC )
24		halfcl 10662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K + 1 ) e. CC -> ( ( K + 1 ) / 2 ) e. CC )
25	23, 24	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. CC -> ( ( K + 1 ) / 2 ) e. CC )
26	3, 4	mulcli 9503	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. pi ) e. CC
27		mulcl 9478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) e. CC /\ ( 2 x. pi ) e. CC ) -> ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) e. CC )
28	25, 26, 27	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. CC -> ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) e. CC )
29		subadd23 9734	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ pi e. CC /\ ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) e. CC ) -> ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( A + ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) ) )
30	4, 29	mp3an2 1303	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) e. CC ) -> ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( A + ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) ) )
31	28, 30	sylan2 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( A + ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) ) )
32		divcan1 10115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K + 1 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) = ( K + 1 ) )
33	3, 8, 32	mp3an23 1307	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K + 1 ) e. CC -> ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) = ( K + 1 ) )
34	23, 33	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. CC -> ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) = ( K + 1 ) )
35	34	oveq1d 6216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. CC -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( K + 1 ) x. pi ) )
36		ax-1cn 9452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. CC
37		adddir 9489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. CC /\ 1 e. CC /\ pi e. CC ) -> ( ( K + 1 ) x. pi ) = ( ( K x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) )
38	36, 4, 37	mp3an23 1307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. CC -> ( ( K + 1 ) x. pi ) = ( ( K x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) )
39	35, 38	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. CC -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( K x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) )
40	4	mulid2i 9501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 x. pi ) = pi
41	40	oveq2i 6212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) = ( ( K x. pi ) + pi )
42	39, 41	syl6req 2512	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. CC -> ( ( K x. pi ) + pi ) = ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) x. pi ) )
43		mulass 9482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ pi e. CC ) -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
44	3, 4, 43	mp3an23 1307	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K + 1 ) / 2 ) e. CC -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
45	25, 44	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. CC -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
46	42, 45	eqtr2d 2496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. CC -> ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( ( K x. pi ) + pi ) )
47	46	oveq1d 6216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. CC -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) = ( ( ( K x. pi ) + pi ) - pi ) )
48		mulcl 9478	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. CC /\ pi e. CC ) -> ( K x. pi ) e. CC )
49	4, 48	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. CC -> ( K x. pi ) e. CC )
50		pncan 9728	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K x. pi ) e. CC /\ pi e. CC ) -> ( ( ( K x. pi ) + pi ) - pi ) = ( K x. pi ) )
51	49, 4, 50	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. CC -> ( ( ( K x. pi ) + pi ) - pi ) = ( K x. pi ) )
52	47, 51	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. CC -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) = ( K x. pi ) )
53	52	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) = ( K x. pi ) )
54	53	oveq2d 6217	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ K e. CC ) -> ( A + ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) ) = ( A + ( K x. pi ) ) )
55	31, 54	eqtr2d 2496	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ K e. CC ) -> ( A + ( K x. pi ) ) = ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
56	1, 55	sylan2 474	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( A + ( K x. pi ) ) = ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
57	56	fveq2d 5804	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) = ( sin ` ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
58	57	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) = ( sin ` ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
59		subcl 9721	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ pi e. CC ) -> ( A - pi ) e. CC )
60	4, 59	mpan2 671	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( A - pi ) e. CC )
61		sinper 22077	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A - pi ) e. CC /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( A - pi ) ) )
62	60, 61	sylan 471	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( A - pi ) ) )
63	62	adantlr 714	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( A - pi ) ) )
64		sinmpi 22083	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( sin ` ( A - pi ) ) = -u ( sin ` A ) )
65	64	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A - pi ) ) = -u ( sin ` A ) )
66	63, 65	eqtrd 2495	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = -u ( sin ` A ) )
67	58, 66	eqtrd 2495	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) = -u ( sin ` A ) )
68	67	fveq2d 5804	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( abs ` ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) ) = ( abs ` -u ( sin ` A ) ) )
69		sincl 13529	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( sin ` A ) e. CC )
70	69	absnegd 13054	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( abs ` -u ( sin ` A ) ) = ( abs ` ( sin ` A ) ) )
71	70	ad2antrr 725	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( abs ` -u ( sin ` A ) ) = ( abs ` ( sin ` A ) ) )
72	68, 71	eqtrd 2495	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( abs ` ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) ) = ( abs ` ( sin ` A ) ) )
73		zeo 10839	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( ( K / 2 ) e. ZZ \/ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
74	73	adantl 466	. 2 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( ( K / 2 ) e. ZZ \/ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
75	22, 72, 74	mpjaodan 784	1 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( abs ` ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) ) = ( abs ` ( sin ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2648   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   CCcc 9392   0cc0 9394   1c1 9395   + caddc 9397   x. cmul 9399   - cmin 9707   -ucneg 9708   / cdiv 10105   2c2 10483   ZZcz 10758   abscabs 12842   sincsin 13468   picpi 13471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472  ax-addf 9473  ax-mulf 9474

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-pm 7328  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-fi 7773  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-cda 8449  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-q 11066  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-ioo 11416  df-ioc 11417  df-ico 11418  df-icc 11419  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-fl 11760  df-seq 11925  df-exp 11984  df-fac 12170  df-bc 12197  df-hash 12222  df-shft 12675  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-limsup 13068  df-clim 13085  df-rlim 13086  df-sum 13283  df-ef 13472  df-sin 13474  df-cos 13475  df-pi 13477  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-hom 14382  df-cco 14383  df-rest 14481  df-topn 14482  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-topgen 14502  df-pt 14503  df-prds 14506  df-xrs 14560  df-qtop 14565  df-imas 14566  df-xps 14568  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-mnd 15535  df-submnd 15585  df-mulg 15668  df-cntz 15955  df-cmn 16401  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-met 17937  df-bl 17938  df-mopn 17939  df-fbas 17940  df-fg 17941  df-cnfld 17945  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-topsp 18640  df-cld 18756  df-ntr 18757  df-cls 18758  df-nei 18835  df-lp 18873  df-perf 18874  df-cn 18964  df-cnp 18965  df-haus 19052  df-tx 19268  df-hmeo 19461  df-fil 19552  df-fm 19644  df-flim 19645  df-flf 19646  df-xms 20028  df-ms 20029  df-tms 20030  df-cncf 20587  df-limc 21475  df-dv 21476

This theorem is referenced by:  sinkpi  22115  sineq0  22117  sineq0ALT  32006