MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absrpcl Structured version   Unicode version

Theorem absrpcl 13087
Description: The absolute value of a nonzero number is a positive real. (Contributed by FL, 27-Dec-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
absrpcl  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )

Proof of Theorem absrpcl
StepHypRef Expression
1 absval 13037 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )
21adantr 465 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  =  ( sqr `  ( A  x.  (
* `  A )
) ) )
3 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
43cjmulrcld 13005 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( A  x.  (
* `  A )
)  e.  RR )
53cjmulge0d 13007 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( A  x.  ( * `  A
) ) )
63cjcld 12995 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( * `  A
)  e.  CC )
7 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  A  =/=  0 )
83, 7cjne0d 13002 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( * `  A
)  =/=  0 )
93, 6, 7, 8mulne0d 10202 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( A  x.  (
* `  A )
)  =/=  0 )
104, 5, 9ne0gt0d 9722 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
0  <  ( A  x.  ( * `  A
) ) )
114, 10elrpd 11255 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( A  x.  (
* `  A )
)  e.  RR+ )
12 rpsqrtcl 13064 . . 3  |-  ( ( A  x.  ( * `
 A ) )  e.  RR+  ->  ( sqr `  ( A  x.  (
* `  A )
) )  e.  RR+ )
1311, 12syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) )  e.  RR+ )
142, 13eqeltrd 2555 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   0cc0 9493    x. cmul 9498   RR+crp 11221   *ccj 12895   sqrcsqrt 13032   abscabs 13033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-seq 12077  df-exp 12136  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035
This theorem is referenced by:  abs00  13088  absdiv  13094  absrpcld  13245  reccn2  13385  expcnv  13641  geomulcvg  13651  cphsqrtcl2  21460  aalioulem3  22556  dvradcnv  22642  efiarg  22817  argregt0  22820  argrege0  22821  argimgt0  22822  abslogle  22828  tanarg  22829
  Copyright terms: Public domain W3C validator