MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absnegd Structured version   Unicode version

Theorem absnegd 13489
Description: Absolute value of negative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
absnegd  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u A
)  =  ( abs `  A ) )

Proof of Theorem absnegd
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 absneg 13319 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A )  =  ( abs `  A
) )
31, 2syl 17 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u A
)  =  ( abs `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1870   ` cfv 5601   CCcc 9536   -ucneg 9860   abscabs 13276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-2 10668  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-abs 13278
This theorem is referenced by:  abelthlem8  23259  tanabsge  23326  abssinper  23338  cxpcn3  23553  abscxpbnd  23558  cosangneg2d  23601  chordthmlem  23623  atantayl  23728  lgamgulmlem2  23820  lgambdd  23827  lgsneg  24110  pntibndlem2  24292  poimirlem29  31673  bddiblnc  31716  ftc1anclem8  31728  binomcxplemnotnn0  36342  neglimc  37300  stirlinglem5  37509  fourierdlem30  37568  fourierdlem39  37577  fourierdlem47  37585  fourierdlem73  37611  etransclem41  37707
  Copyright terms: Public domain W3C validator