MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absneg Structured version   Unicode version

Theorem absneg 13257
Description: Absolute value of negative. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
absneg  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A )  =  ( abs `  A
) )

Proof of Theorem absneg
StepHypRef Expression
1 cjneg 13127 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  -u A )  =  -u ( * `  A ) )
21oveq2d 6293 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A  x.  ( * `
 -u A ) )  =  ( -u A  x.  -u ( * `  A ) ) )
3 cjcl 13085 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  e.  CC )
4 mul2neg 10036 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( * `  A
)  e.  CC )  ->  ( -u A  x.  -u ( * `  A ) )  =  ( A  x.  (
* `  A )
) )
53, 4mpdan 666 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A  x.  -u (
* `  A )
)  =  ( A  x.  ( * `  A ) ) )
62, 5eqtrd 2443 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A  x.  ( * `
 -u A ) )  =  ( A  x.  ( * `  A
) ) )
76fveq2d 5852 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( -u A  x.  ( * `  -u A
) ) )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )
8 negcl 9855 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
9 absval 13218 . . 3  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A
)  =  ( sqr `  ( -u A  x.  ( * `  -u A
) ) ) )
108, 9syl 17 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A )  =  ( sqr `  ( -u A  x.  ( * `
 -u A ) ) ) )
11 absval 13218 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )
127, 10, 113eqtr4d 2453 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A )  =  ( abs `  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   CCcc 9519    x. cmul 9526   -ucneg 9841   *ccj 13076   sqrcsqrt 13213   abscabs 13214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-2 10634  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-abs 13216
This theorem is referenced by:  absnid  13278  absimle  13289  abslt  13294  absle  13295  abssub  13306  abs2dif2  13313  sqreulem  13339  absnegi  13379  absnegd  13427  cnheibor  21745  ftalem3  23727  qqhcn  28410  jm2.26lem3  35285
  Copyright terms: Public domain W3C validator