MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absneg Structured version   Unicode version

Theorem absneg 12758
Description: Absolute value of negative. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
absneg  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A )  =  ( abs `  A
) )

Proof of Theorem absneg
StepHypRef Expression
1 cjneg 12628 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  -u A )  =  -u ( * `  A ) )
21oveq2d 6102 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A  x.  ( * `
 -u A ) )  =  ( -u A  x.  -u ( * `  A ) ) )
3 cjcl 12586 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  e.  CC )
4 mul2neg 9776 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( * `  A
)  e.  CC )  ->  ( -u A  x.  -u ( * `  A ) )  =  ( A  x.  (
* `  A )
) )
53, 4mpdan 668 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A  x.  -u (
* `  A )
)  =  ( A  x.  ( * `  A ) ) )
62, 5eqtrd 2470 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A  x.  ( * `
 -u A ) )  =  ( A  x.  ( * `  A
) ) )
76fveq2d 5690 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( -u A  x.  ( * `  -u A
) ) )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )
8 negcl 9602 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
9 absval 12719 . . 3  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A
)  =  ( sqr `  ( -u A  x.  ( * `  -u A
) ) ) )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A )  =  ( sqr `  ( -u A  x.  ( * `
 -u A ) ) ) )
11 absval 12719 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )
127, 10, 113eqtr4d 2480 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A )  =  ( abs `  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272    x. cmul 9279   -ucneg 9588   *ccj 12577   sqrcsqr 12714   abscabs 12715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-2 10372  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-abs 12717
This theorem is referenced by:  absnid  12779  absimle  12790  abslt  12794  absle  12795  abssub  12806  abs2dif2  12813  sqreulem  12839  absnegi  12879  absnegd  12927  cnheibor  20502  ftalem3  22387  qqhcn  26372  jm2.26lem3  29303
  Copyright terms: Public domain W3C validator