MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absneg Structured version   Unicode version

Theorem absneg 12887
Description: Absolute value of negative. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
absneg  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A )  =  ( abs `  A
) )

Proof of Theorem absneg
StepHypRef Expression
1 cjneg 12757 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  -u A )  =  -u ( * `  A ) )
21oveq2d 6219 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A  x.  ( * `
 -u A ) )  =  ( -u A  x.  -u ( * `  A ) ) )
3 cjcl 12715 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  e.  CC )
4 mul2neg 9898 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( * `  A
)  e.  CC )  ->  ( -u A  x.  -u ( * `  A ) )  =  ( A  x.  (
* `  A )
) )
53, 4mpdan 668 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A  x.  -u (
* `  A )
)  =  ( A  x.  ( * `  A ) ) )
62, 5eqtrd 2495 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A  x.  ( * `
 -u A ) )  =  ( A  x.  ( * `  A
) ) )
76fveq2d 5806 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( -u A  x.  ( * `  -u A
) ) )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )
8 negcl 9724 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
9 absval 12848 . . 3  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A
)  =  ( sqr `  ( -u A  x.  ( * `  -u A
) ) ) )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A )  =  ( sqr `  ( -u A  x.  ( * `
 -u A ) ) ) )
11 absval 12848 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )
127, 10, 113eqtr4d 2505 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A )  =  ( abs `  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9394    x. cmul 9401   -ucneg 9710   *ccj 12706   sqrcsqr 12843   abscabs 12844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-2 10494  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-abs 12846
This theorem is referenced by:  absnid  12908  absimle  12919  abslt  12923  absle  12924  abssub  12935  abs2dif2  12942  sqreulem  12968  absnegi  13008  absnegd  13056  cnheibor  20662  ftalem3  22548  qqhcn  26585  jm2.26lem3  29518
  Copyright terms: Public domain W3C validator