MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absneg Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem absneg 13340
Description: Absolute value of negative. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
absneg  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A )  =  ( abs `  A
) )

Proof of Theorem absneg
StepHypRef Expression
1 cjneg 13210 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  -u A )  =  -u ( * `  A ) )
21oveq2d 6306 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A  x.  ( * `
 -u A ) )  =  ( -u A  x.  -u ( * `  A ) ) )
3 cjcl 13168 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  e.  CC )
4 mul2neg 10058 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( * `  A
)  e.  CC )  ->  ( -u A  x.  -u ( * `  A ) )  =  ( A  x.  (
* `  A )
) )
53, 4mpdan 674 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A  x.  -u (
* `  A )
)  =  ( A  x.  ( * `  A ) ) )
62, 5eqtrd 2485 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A  x.  ( * `
 -u A ) )  =  ( A  x.  ( * `  A
) ) )
76fveq2d 5869 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( -u A  x.  ( * `  -u A
) ) )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )
8 negcl 9875 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
9 absval 13301 . . 3  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A
)  =  ( sqr `  ( -u A  x.  ( * `  -u A
) ) ) )
108, 9syl 17 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A )  =  ( sqr `  ( -u A  x.  ( * `
 -u A ) ) ) )
11 absval 13301 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )
127, 10, 113eqtr4d 2495 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A )  =  ( abs `  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1444    e. wcel 1887   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537    x. cmul 9544   -ucneg 9861   *ccj 13159   sqrcsqrt 13296   abscabs 13297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-2 10668  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-abs 13299
This theorem is referenced by:  absnid  13361  absimle  13372  abslt  13377  absle  13378  abssub  13389  abs2dif2  13396  sqreulem  13422  absnegi  13462  absnegd  13511  cnheibor  21983  ftalem3  23999  qqhcn  28795  jm2.26lem3  35856
  Copyright terms: Public domain W3C validator