Theorem absmuli 8098

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133.

Hypotheses

Ref	Expression
absvalsqi.1	|- A e. CC
abssub.2	|- B e. CC

Assertion

Ref	Expression
absmuli	|- (abs` (A x. B)) = ((abs` A) x. (abs` B))

Proof of Theorem absmuli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absvalsqi.1	. . . . . . 7 |- A e. CC
2		abssub.2	. . . . . . 7 |- B e. CC
3	1, 2	cjmuli 8039	. . . . . 6 |- (*` (A x. B)) = ((*` A) x. (*` B))
4	3	opreq2i 4893	. . . . 5 |- ((A x. B) x. (*` (A x. B))) = ((A x. B) x. ((*` A) x. (*` B)))
5	1	cjcli 8017	. . . . . 6 |- (*` A) e. CC
6	2	cjcli 8017	. . . . . 6 |- (*` B) e. CC
7	1, 2, 5, 6	mul4i 6588	. . . . 5 |- ((A x. B) x. ((*` A) x. (*` B))) = ((A x. (*` A)) x. (B x. (*` B)))
8	4, 7	eqtri 1908	. . . 4 |- ((A x. B) x. (*` (A x. B))) = ((A x. (*` A)) x. (B x. (*` B)))
9	8	fveq2i 4684	. . 3 |- (sqr` ((A x. B) x. (*` (A x. B)))) = (sqr` ((A x. (*` A)) x. (B x. (*` B))))
10	1	cjmulrcli 8041	. . . 4 |- (A x. (*` A)) e. RR
11	2	cjmulrcli 8041	. . . 4 |- (B x. (*` B)) e. RR
12	1	cjmulge0i 8043	. . . 4 |- 0 <_ (A x. (*` A))
13	2	cjmulge0i 8043	. . . 4 |- 0 <_ (B x. (*` B))
14	10, 11, 12, 13	sqrmulii 7954	. . 3 |- (sqr` ((A x. (*` A)) x. (B x. (*` B)))) = ((sqr` (A x. (*` A))) x. (sqr` (B x. (*` B))))
15	9, 14	eqtri 1908	. 2 |- (sqr` ((A x. B) x. (*` (A x. B)))) = ((sqr` (A x. (*` A))) x. (sqr` (B x. (*` B))))
16	1, 2	mulcli 6474	. . 3 |- (A x. B) e. CC
17		absval 8012	. . 3 |- ((A x. B) e. CC -> (abs` (A x. B)) = (sqr` ((A x. B) x. (*` (A x. B)))))
18	16, 17	ax-mp 7	. 2 |- (abs` (A x. B)) = (sqr` ((A x. B) x. (*` (A x. B))))
19		absval 8012	. . . 4 |- (A e. CC -> (abs` A) = (sqr` (A x. (*` A))))
20	1, 19	ax-mp 7	. . 3 |- (abs` A) = (sqr` (A x. (*` A)))
21		absval 8012	. . . 4 |- (B e. CC -> (abs` B) = (sqr` (B x. (*` B))))
22	2, 21	ax-mp 7	. . 3 |- (abs` B) = (sqr` (B x. (*` B)))
23	20, 22	opreq12i 4894	. 2 |- ((abs` A) x. (abs` B)) = ((sqr` (A x. (*` A))) x. (sqr` (B x. (*` B))))
24	15, 18, 23	3eqtr4i 1921	1 |- (abs` (A x. B)) = ((abs` A) x. (abs` B))

Syntax hints:   = wceq 1298   e. wcel 1300  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384   x. cmul 6391  sqrcsqr 7919  *ccj 7999  abscabs 8000

This theorem is referenced by:  absmul 8109  abstrii 8143  efcnlem2 8685  divalglem1 13697  divalglem2 13698

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004

Copyright terms: Public domain