HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem absmax 8149
Description: The maximum of two numbers using absolute value.
Assertion
Ref Expression
absmax |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> if(A <_ B, B, A) = (((A + B) + (abs` (A - B))) / 2))
Proof of Theorem absmax
StepHypRef Expression
1 recn 6466 . . . . . 6 |- (A e. RR -> A e. CC)
2 2cn 7164 . . . . . . 7 |- 2 e. CC
3 2ne0 7174 . . . . . . 7 |- 2 =/= 0
4 divcan3 6938 . . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0) -> ((2 x. A) / 2) = A)
52, 3, 4mp3an23 1183 . . . . . 6 |- (A e. CC -> ((2 x. A) / 2) = A)
61, 5syl 12 . . . . 5 |- (A e. RR -> ((2 x. A) / 2) = A)
76ad2antlr 441 . . . 4 |- (((B e. RR /\ A e. RR) /\ B < A) -> ((2 x. A) / 2) = A)
8 ltle 6690 . . . . . . . . 9 |- ((B e. RR /\ A e. RR) -> (B < A -> B <_ A))
98imp 377 . . . . . . . 8 |- (((B e. RR /\ A e. RR) /\ B < A) -> B <_ A)
10 abssubge0 8147 . . . . . . . . 9 |- ((B e. RR /\ A e. RR /\ B <_ A) -> (abs` (A - B)) = (A - B))
11103expa 1067 . . . . . . . 8 |- (((B e. RR /\ A e. RR) /\ B <_ A) -> (abs` (A - B)) = (A - B))
129, 11syldan 516 . . . . . . 7 |- (((B e. RR /\ A e. RR) /\ B < A) -> (abs` (A - B)) = (A - B))
1312opreq2d 4898 . . . . . 6 |- (((B e. RR /\ A e. RR) /\ B < A) -> ((A + B) + (abs` (A - B))) = ((A + B) + (A - B)))
14 simpr 350 . . . . . . . . . 10 |- ((B e. CC /\ A e. CC) -> A e. CC)
15 simpl 346 . . . . . . . . . 10 |- ((B e. CC /\ A e. CC) -> B e. CC)
16 ppncan 6648 . . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ A e. CC) -> ((A + B) + (A - B)) = (A + A))
1714, 15, 14, 16syl111anc 1100 . . . . . . . . 9 |- ((B e. CC /\ A e. CC) -> ((A + B) + (A - B)) = (A + A))
18 2times 7188 . . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> (2 x. A) = (A + A))
1918adantl 424 . . . . . . . . 9 |- ((B e. CC /\ A e. CC) -> (2 x. A) = (A + A))
2017, 19eqtr4d 1928 . . . . . . . 8 |- ((B e. CC /\ A e. CC) -> ((A + B) + (A - B)) = (2 x. A))
21 recn 6466 . . . . . . . 8 |- (B e. RR -> B e. CC)
2220, 21, 1syl2an 503 . . . . . . 7 |- ((B e. RR /\ A e. RR) -> ((A + B) + (A - B)) = (2 x. A))
2322adantr 425 . . . . . 6 |- (((B e. RR /\ A e. RR) /\ B < A) -> ((A + B) + (A - B)) = (2 x. A))
2413, 23eqtrd 1925 . . . . 5 |- (((B e. RR /\ A e. RR) /\ B < A) -> ((A + B) + (abs` (A - B))) = (2 x. A))
2524opreq1d 4897 . . . 4 |- (((B e. RR /\ A e. RR) /\ B < A) -> (((A + B) + (abs` (A - B))) / 2) = ((2 x. A) / 2))
26 ltnle 6680 . . . . . 6 |- ((B e. RR /\ A e. RR) -> (B < A <-> -. A <_ B))
2726biimpa 460 . . . . 5 |- (((B e. RR /\ A e. RR) /\ B < A) -> -. A <_ B)
28 iffalse 2991 . . . . 5 |- (-. A <_ B -> if(A <_ B, B, A) = A)
2927, 28syl 12 . . . 4 |- (((B e. RR /\ A e. RR) /\ B < A) -> if(A <_ B, B, A) = A)
307, 25, 293eqtr4rd 1939 . . 3 |- (((B e. RR /\ A e. RR) /\ B < A) -> if(A <_ B, B, A) = (((A + B) + (abs` (A - B))) / 2))
3130ancom1s 548 . 2 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ B < A) -> if(A <_ B, B, A) = (((A + B) + (abs` (A - B))) / 2))
32 divcan3 6938 . . . . . 6 |- ((B e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0) -> ((2 x. B) / 2) = B)
332, 3, 32mp3an23 1183 . . . . 5 |- (B e. CC -> ((2 x. B) / 2) = B)
3421, 33syl 12 . . . 4 |- (B e. RR -> ((2 x. B) / 2) = B)
3534ad2antlr 441 . . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ A <_ B) -> ((2 x. B) / 2) = B)
36 abssuble0 8148 . . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B) -> (abs` (A - B)) = (B - A))
37363expa 1067 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ A <_ B) -> (abs` (A - B)) = (B - A))
3837opreq2d 4898 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ A <_ B) -> ((A + B) + (abs` (A - B))) = ((A + B) + (B - A)))
39 simpr 350 . . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> B e. CC)
40 simpl 346 . . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> A e. CC)
41 ppncan 6648 . . . . . . . . 9 |- ((B e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC) -> ((B + A) + (B - A)) = (B + B))
4239, 40, 39, 41syl111anc 1100 . . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((B + A) + (B - A)) = (B + B))
43 addcom 6458 . . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A + B) = (B + A))
4443opreq1d 4897 . . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A + B) + (B - A)) = ((B + A) + (B - A)))
45 2times 7188 . . . . . . . . 9 |- (B e. CC -> (2 x. B) = (B + B))
4645adantl 424 . . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (2 x. B) = (B + B))
4742, 44, 463eqtr4d 1937 . . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A + B) + (B - A)) = (2 x. B))
4847, 1, 21syl2an 503 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((A + B) + (B - A)) = (2 x. B))
4948adantr 425 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ A <_ B) -> ((A + B) + (B - A)) = (2 x. B))
5038, 49eqtrd 1925 . . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ A <_ B) -> ((A + B) + (abs` (A - B))) = (2 x. B))
5150opreq1d 4897 . . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ A <_ B) -> (((A + B) + (abs` (A - B))) / 2) = ((2 x. B) / 2))
52 iftrue 2989 . . . 4 |- (A <_ B -> if(A <_ B, B, A) = B)
5352adantl 424 . . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ A <_ B) -> if(A <_ B, B, A) = B)
5435, 51, 533eqtr4rd 1939 . 2 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ A <_ B) -> if(A <_ B, B, A) = (((A + B) + (abs` (A - B))) / 2))
55 simpr 350 . 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> B e. RR)
56 simpl 346 . 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> A e. RR)
5731, 54, 55, 56pm2.61ltlei 6705 1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> if(A <_ B, B, A) = (((A + B) + (abs` (A - B))) / 2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  ifcif 2982   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445   / cdiv 6447   <_ cle 6448   < clt 6653  2c2 7145  abscabs 8000
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-2 7154  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004
Copyright terms: Public domain