MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abslogle Structured version   Unicode version

Theorem abslogle 23471
Description: Bound on the magnitude of the complex logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
abslogle  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  ( log `  A ) )  <_  ( ( abs `  ( log `  ( abs `  A ) ) )  +  pi ) )

Proof of Theorem abslogle
StepHypRef Expression
1 logcl 23422 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
21abscld 13465 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  ( log `  A ) )  e.  RR )
3 absrpcl 13319 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
4 relogcl 23429 . . . . . 6  |-  ( ( abs `  A )  e.  RR+  ->  ( log `  ( abs `  A
) )  e.  RR )
53, 4syl 17 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  ( abs `  A ) )  e.  RR )
65recnd 9658 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  ( abs `  A ) )  e.  CC )
76abscld 13465 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  ( log `  ( abs `  A
) ) )  e.  RR )
81imcld 13226 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
98recnd 9658 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
109abscld 13465 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
117, 10readdcld 9659 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  ( log `  ( abs `  A
) ) )  +  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  e.  RR )
12 pire 23317 . . . 4  |-  pi  e.  RR
1312a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  pi  e.  RR )
147, 13readdcld 9659 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  ( log `  ( abs `  A
) ) )  +  pi )  e.  RR )
151recld 13225 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Re `  ( log `  A ) )  e.  RR )
1615recnd 9658 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Re `  ( log `  A ) )  e.  CC )
17 ax-icn 9587 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
1817a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  _i  e.  CC )
1918, 9mulcld 9652 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  CC )
2016, 19abstrid 13485 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  (
( Re `  ( log `  A ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  <_  (
( abs `  (
Re `  ( log `  A ) ) )  +  ( abs `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) ) )
211replimd 13228 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  =  ( ( Re `  ( log `  A ) )  +  ( _i  x.  (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
2221fveq2d 5876 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  ( log `  A ) )  =  ( abs `  (
( Re `  ( log `  A ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
23 relog 23450 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Re `  ( log `  A ) )  =  ( log `  ( abs `  A ) ) )
2423eqcomd 2428 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  ( abs `  A ) )  =  ( Re `  ( log `  A ) ) )
2524fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  ( log `  ( abs `  A
) ) )  =  ( abs `  (
Re `  ( log `  A ) ) ) )
2618, 9absmuld 13483 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )  =  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
27 absi 13317 . . . . . . 7  |-  ( abs `  _i )  =  1
2827oveq1i 6306 . . . . . 6  |-  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
2910recnd 9658 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  CC )
3029mulid2d 9650 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  x.  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
3128, 30syl5eq 2473 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) ) )
3226, 31eqtr2d 2462 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( abs `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) )
3325, 32oveq12d 6314 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  ( log `  ( abs `  A
) ) )  +  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( Re
`  ( log `  A
) ) )  +  ( abs `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  A
) ) ) ) ) )
3420, 22, 333brtr4d 4447 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  ( log `  A ) )  <_  ( ( abs `  ( log `  ( abs `  A ) ) )  +  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
35 abslogimle 23427 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
3610, 13, 7, 35leadd2dd 10217 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  ( log `  ( abs `  A
) ) )  +  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( log `  ( abs `  A ) ) )  +  pi ) )
372, 11, 14, 34, 36letrd 9781 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  ( log `  A ) )  <_  ( ( abs `  ( log `  ( abs `  A ) ) )  +  pi ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    e. wcel 1867    =/= wne 2616   class class class wbr 4417   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   CCcc 9526   RRcr 9527   0cc0 9528   1c1 9529   _ici 9530    + caddc 9531    x. cmul 9533    <_ cle 9665   RR+crp 11291   Recre 13128   Imcim 13129   abscabs 13265   picpi 14086   logclog 23408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606  ax-addf 9607  ax-mulf 9608
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6917  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-pm 7474  df-ixp 7522  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8016  df-card 8363  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-q 11254  df-rp 11292  df-xneg 11398  df-xadd 11399  df-xmul 11400  df-ioo 11628  df-ioc 11629  df-ico 11630  df-icc 11631  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-fl 12014  df-mod 12083  df-seq 12200  df-exp 12259  df-fac 12446  df-bc 12474  df-hash 12502  df-shft 13098  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-limsup 13493  df-clim 13519  df-rlim 13520  df-sum 13720  df-ef 14088  df-sin 14090  df-cos 14091  df-pi 14093  df-struct 15083  df-ndx 15084  df-slot 15085  df-base 15086  df-sets 15087  df-ress 15088  df-plusg 15163  df-mulr 15164  df-starv 15165  df-sca 15166  df-vsca 15167  df-ip 15168  df-tset 15169  df-ple 15170  df-ds 15172  df-unif 15173  df-hom 15174  df-cco 15175  df-rest 15281  df-topn 15282  df-0g 15300  df-gsum 15301  df-topgen 15302  df-pt 15303  df-prds 15306  df-xrs 15360  df-qtop 15365  df-imas 15366  df-xps 15368  df-mre 15444  df-mrc 15445  df-acs 15447  df-mgm 16440  df-sgrp 16479  df-mnd 16489  df-submnd 16535  df-mulg 16628  df-cntz 16923  df-cmn 17373  df-psmet 18903  df-xmet 18904  df-met 18905  df-bl 18906  df-mopn 18907  df-fbas 18908  df-fg 18909  df-cnfld 18912  df-top 19858  df-bases 19859  df-topon 19860  df-topsp 19861  df-cld 19971  df-ntr 19972  df-cls 19973  df-nei 20051  df-lp 20089  df-perf 20090  df-cn 20180  df-cnp 20181  df-haus 20268  df-tx 20514  df-hmeo 20707  df-fil 20798  df-fm 20890  df-flim 20891  df-flf 20892  df-xms 21272  df-ms 21273  df-tms 21274  df-cncf 21832  df-limc 22728  df-dv 22729  df-log 23410
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem5  23862  lgambdd  23866
  Copyright terms: Public domain W3C validator