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Theorem absle 13372
Description: Absolute value and 'less than or equal to' relation. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
absle  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( abs `  A
)  <_  B  <->  ( -u B  <_  A  /\  A  <_  B ) ) )

Proof of Theorem absle
StepHypRef Expression
1 simpll 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  A  e.  RR )
21renegcld 10048 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  -> 
-u A  e.  RR )
31recnd 9671 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  A  e.  CC )
4 abscl 13335 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
53, 4syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
6 simplr 761 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  B  e.  RR )
7 leabs 13356 . . . . . . . 8  |-  ( -u A  e.  RR  ->  -u A  <_  ( abs `  -u A
) )
82, 7syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  -> 
-u A  <_  ( abs `  -u A ) )
9 absneg 13334 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A )  =  ( abs `  A
) )
103, 9syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  ( abs `  -u A
)  =  ( abs `  A ) )
118, 10breqtrd 4446 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  -> 
-u A  <_  ( abs `  A ) )
12 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  ( abs `  A
)  <_  B )
132, 5, 6, 11, 12letrd 9794 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  -> 
-u A  <_  B
)
14 leabs 13356 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  ( abs `  A
) )
1514ad2antrr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  A  <_  ( abs `  A ) )
161, 5, 6, 15, 12letrd 9794 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  A  <_  B )
1713, 16jca 535 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B
) )
1817ex 436 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( abs `  A
)  <_  B  ->  (
-u A  <_  B  /\  A  <_  B ) ) )
19 absor 13357 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( abs `  A
)  =  A  \/  ( abs `  A )  =  -u A ) )
2019adantr 467 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( abs `  A
)  =  A  \/  ( abs `  A )  =  -u A ) )
21 breq1 4424 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  A )  =  A  ->  (
( abs `  A
)  <_  B  <->  A  <_  B ) )
2221biimprd 227 . . . . . 6  |-  ( ( abs `  A )  =  A  ->  ( A  <_  B  ->  ( abs `  A )  <_  B ) )
23 breq1 4424 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  A )  =  -u A  ->  (
( abs `  A
)  <_  B  <->  -u A  <_  B ) )
2423biimprd 227 . . . . . 6  |-  ( ( abs `  A )  =  -u A  ->  ( -u A  <_  B  ->  ( abs `  A )  <_  B ) )
2522, 24jaoa 513 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  A
)  =  A  \/  ( abs `  A )  =  -u A )  -> 
( ( A  <_  B  /\  -u A  <_  B
)  ->  ( abs `  A )  <_  B
) )
2625ancomsd 456 . . . 4  |-  ( ( ( abs `  A
)  =  A  \/  ( abs `  A )  =  -u A )  -> 
( ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B )  ->  ( abs `  A )  <_  B ) )
2720, 26syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B )  ->  ( abs `  A )  <_  B ) )
2818, 27impbid 194 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( abs `  A
)  <_  B  <->  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) ) )
29 lenegcon1 10120 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u A  <_  B 
<-> 
-u B  <_  A
) )
3029anbi1d 710 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B )  <->  ( -u B  <_  A  /\  A  <_  B ) ) )
3128, 30bitrd 257 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( abs `  A
)  <_  B  <->  ( -u B  <_  A  /\  A  <_  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869   class class class wbr 4421   ` cfv 5599   CCcc 9539   RRcr 9540    <_ cle 9678   -ucneg 9863   abscabs 13291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-sup 7960  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-seq 12215  df-exp 12274  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293
This theorem is referenced by:  absdifle  13375  lenegsq  13377  abs2difabs  13391  abslei  13448  absled  13486  volsup2  22555  efif1olem3  23485  argregt0  23551  argrege0  23552  abscxpbnd  23685  lgseisen  24273  ftc1anclem1  31975  pellexlem5  35641
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