MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absidd Structured version   Unicode version

Theorem absidd 12893
Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrcld.2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
absidd  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  =  A )

Proof of Theorem absidd
StepHypRef Expression
1 resqrcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 resqrcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3 absid 12769 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( abs `  A
)  =  A )
41, 2, 3syl2anc 654 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1362    e. wcel 1755   class class class wbr 4280   ` cfv 5406   RRcr 9269   0cc0 9270    <_ cle 9407   abscabs 12707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-sup 7679  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-rp 10980  df-seq 11791  df-exp 11850  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709
This theorem is referenced by:  rlimno1  13115  iseralt  13146  cvgcmpce  13264  divrcnv  13298  geomulcvg  13319  cvgrat  13326  mertenslem2  13328  eftabs  13344  efcllem  13346  efaddlem  13361  eftlub  13376  eflegeo  13388  ef01bndlem  13451  absef  13464  efieq1re  13466  divalg2  13592  nn0gcdid0  13692  absmulgcd  13714  gcdmultiple  13717  gcdmultiplez  13718  mulgcddvds  13773  phibndlem  13828  dfphi2  13832  mul4sqlem  13997  4sqlem11  13999  prmirredlem  17759  prmirred  17761  prmirredlemOLD  17762  prmirredOLD  17764  blcvx  20217  reperflem  20237  reconnlem2  20246  nmoleub2lem3  20512  nmoleub3  20516  tchcphlem1  20592  iscmet3lem3  20643  pjthlem1  20766  lhop1lem  21327  ftc1lem4  21353  plyeq0lem  21563  aalioulem4  21686  mtest  21754  radcnvlem1  21763  radcnvlt1  21768  radcnvle  21770  dvradcnv  21771  pserdvlem2  21778  abelth2  21792  tanabsge  21853  sineq0  21868  divlogrlim  21965  logcnlem3  21974  logcnlem4  21975  logtayllem  21989  logtayl  21990  abscxp2  22023  chordthmlem4  22115  rlimcnp  22244  ftalem5  22299  lgsval2lem  22530  lgsval4a  22542  2sqlem3  22590  chebbnd1  22606  chtppilimlem2  22608  chto1ub  22610  vmadivsum  22616  vmadivsumb  22617  rpvmasumlem  22621  dchrisumlem2  22624  dchrisumlem3  22625  dchrvmasumlem2  22632  dchrvmasumiflem1  22635  dchrisum0fno1  22645  dchrisum0re  22647  rplogsum  22661  mulog2sumlem1  22668  mulog2sumlem2  22669  2vmadivsumlem  22674  selbergb  22683  selberg2lem  22684  selberg2b  22686  selberg3lem1  22691  selberg3lem2  22692  selberg4lem1  22694  pntrsumo1  22699  pntrlog2bndlem1  22711  pntrlog2bndlem2  22712  pntrlog2bndlem3  22713  pntrlog2bndlem5  22715  pntrlog2bndlem6  22717  pntrlog2bnd  22718  pntpbnd1a  22719  pntpbnd1  22720  pntibndlem2  22725  ostth2  22771  htthlem  24142  bcsiALT  24404  norm1  24475  pjhthlem1  24617  nmbdoplbi  25251  nmcexi  25253  nmcopexi  25254  nmcoplbi  25255  nmbdfnlbi  25276  nmcfnexi  25278  nmcfnlbi  25279  cnlnadjlem7  25300  nmopcoi  25322  nmopcoadji  25328  branmfn  25332  strlem1  25477  lgamgulmlem2  26864  lgamgulmlem5  26867  lgamcvg2  26889  subfaclim  26924  ftc1cnnclem  28309  ftc1anclem5  28315  lmclim2  28498  geomcau  28499  cntotbnd  28539  irrapxlem2  29009  irrapxlem5  29012  pellexlem2  29016  oddcomabszz  29130  jm2.19  29187  jm2.26lem3  29195  stoweidlem7  29648
  Copyright terms: Public domain W3C validator