MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absidd Structured version   Unicode version

Theorem absidd 13203
Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrcld.2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
absidd  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  =  A )

Proof of Theorem absidd
StepHypRef Expression
1 resqrcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 resqrcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3 absid 13079 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( abs `  A
)  =  A )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4440   ` cfv 5579   RRcr 9480   0cc0 9481    <_ cle 9618   abscabs 13017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-seq 12064  df-exp 12123  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019
This theorem is referenced by:  rlimno1  13425  iseralt  13456  cvgcmpce  13581  divrcnv  13616  geomulcvg  13637  cvgrat  13644  mertenslem2  13646  eftabs  13662  efcllem  13664  efaddlem  13679  eftlub  13694  eflegeo  13706  ef01bndlem  13769  absef  13782  efieq1re  13784  divalg2  13911  nn0gcdid0  14011  absmulgcd  14033  gcdmultiple  14036  gcdmultiplez  14037  mulgcddvds  14093  phibndlem  14148  dfphi2  14152  mul4sqlem  14319  4sqlem11  14321  prmirredlem  18283  prmirred  18285  prmirredlemOLD  18286  prmirredOLD  18288  blcvx  21031  reperflem  21051  reconnlem2  21060  nmoleub2lem3  21326  nmoleub3  21330  tchcphlem1  21406  iscmet3lem3  21457  pjthlem1  21580  lhop1lem  22142  ftc1lem4  22168  plyeq0lem  22335  aalioulem4  22458  mtest  22526  radcnvlem1  22535  radcnvlt1  22540  radcnvle  22542  dvradcnv  22543  pserdvlem2  22550  abelth2  22564  tanabsge  22625  sineq0  22640  divlogrlim  22737  logcnlem3  22746  logcnlem4  22747  logtayllem  22761  logtayl  22762  abscxp2  22795  chordthmlem4  22887  rlimcnp  23016  ftalem5  23071  lgsval2lem  23302  lgsval4a  23314  2sqlem3  23362  chebbnd1  23378  chtppilimlem2  23380  chto1ub  23382  vmadivsum  23388  vmadivsumb  23389  rpvmasumlem  23393  dchrisumlem2  23396  dchrisumlem3  23397  dchrvmasumlem2  23404  dchrvmasumiflem1  23407  dchrisum0fno1  23417  dchrisum0re  23419  rplogsum  23433  mulog2sumlem1  23440  mulog2sumlem2  23441  2vmadivsumlem  23446  selbergb  23455  selberg2lem  23456  selberg2b  23458  selberg3lem1  23463  selberg3lem2  23464  selberg4lem1  23466  pntrsumo1  23471  pntrlog2bndlem1  23483  pntrlog2bndlem2  23484  pntrlog2bndlem3  23485  pntrlog2bndlem5  23487  pntrlog2bndlem6  23489  pntrlog2bnd  23490  pntpbnd1a  23491  pntpbnd1  23492  pntibndlem2  23497  ostth2  23543  htthlem  25496  bcsiALT  25758  norm1  25829  pjhthlem1  25971  nmbdoplbi  26605  nmcexi  26607  nmcopexi  26608  nmcoplbi  26609  nmbdfnlbi  26630  nmcfnexi  26632  nmcfnlbi  26633  cnlnadjlem7  26654  nmopcoi  26676  nmopcoadji  26682  branmfn  26686  strlem1  26831  lgamgulmlem2  28198  lgamgulmlem5  28201  lgamcvg2  28223  subfaclim  28258  ftc1cnnclem  29652  ftc1anclem5  29658  lmclim2  29841  geomcau  29842  cntotbnd  29882  irrapxlem2  30350  irrapxlem5  30353  pellexlem2  30357  oddcomabszz  30471  jm2.19  30528  jm2.26lem3  30536  0ellimcdiv  31146  stoweidlem7  31262  fourierdlem30  31392  fourierdlem39  31401
  Copyright terms: Public domain W3C validator