MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absidd Structured version   Unicode version

Theorem absidd 13235
Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrcld.2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
absidd  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  =  A )

Proof of Theorem absidd
StepHypRef Expression
1 resqrcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 resqrcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3 absid 13110 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( abs `  A
)  =  A )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1383    e. wcel 1804   class class class wbr 4437   ` cfv 5578   RRcr 9494   0cc0 9495    <_ cle 9632   abscabs 13048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-rp 11231  df-seq 12089  df-exp 12148  df-cj 12913  df-re 12914  df-im 12915  df-sqrt 13049  df-abs 13050
This theorem is referenced by:  rlimno1  13457  iseralt  13488  cvgcmpce  13613  divrcnv  13645  geomulcvg  13666  cvgrat  13673  mertenslem2  13675  eftabs  13792  efcllem  13794  efaddlem  13809  eftlub  13825  eflegeo  13837  ef01bndlem  13900  absef  13913  efieq1re  13915  divalg2  14044  nn0gcdid0  14144  absmulgcd  14166  gcdmultiple  14169  gcdmultiplez  14170  mulgcddvds  14226  phibndlem  14281  dfphi2  14285  mul4sqlem  14452  4sqlem11  14454  prmirredlem  18500  prmirred  18502  prmirredlemOLD  18503  prmirredOLD  18505  blcvx  21280  reperflem  21300  reconnlem2  21309  nmoleub2lem3  21575  nmoleub3  21579  tchcphlem1  21655  iscmet3lem3  21706  pjthlem1  21829  lhop1lem  22391  ftc1lem4  22417  plyeq0lem  22584  aalioulem4  22707  mtest  22775  radcnvlem1  22784  radcnvlt1  22789  radcnvle  22791  dvradcnv  22792  pserdvlem2  22799  abelth2  22813  tanabsge  22875  sineq0  22890  divlogrlim  22992  logcnlem3  23001  logcnlem4  23002  logtayllem  23016  logtayl  23017  abscxp2  23050  chordthmlem4  23142  rlimcnp  23271  ftalem5  23326  lgsval2lem  23557  lgsval4a  23569  2sqlem3  23617  chebbnd1  23633  chtppilimlem2  23635  chto1ub  23637  vmadivsum  23643  vmadivsumb  23644  rpvmasumlem  23648  dchrisumlem2  23651  dchrisumlem3  23652  dchrvmasumlem2  23659  dchrvmasumiflem1  23662  dchrisum0fno1  23672  dchrisum0re  23674  rplogsum  23688  mulog2sumlem1  23695  mulog2sumlem2  23696  2vmadivsumlem  23701  selbergb  23710  selberg2lem  23711  selberg2b  23713  selberg3lem1  23718  selberg3lem2  23719  selberg4lem1  23721  pntrsumo1  23726  pntrlog2bndlem1  23738  pntrlog2bndlem2  23739  pntrlog2bndlem3  23740  pntrlog2bndlem5  23742  pntrlog2bndlem6  23744  pntrlog2bnd  23745  pntpbnd1a  23746  pntpbnd1  23747  pntibndlem2  23752  ostth2  23798  htthlem  25810  bcsiALT  26072  norm1  26143  pjhthlem1  26285  nmbdoplbi  26919  nmcexi  26921  nmcopexi  26922  nmcoplbi  26923  nmbdfnlbi  26944  nmcfnexi  26946  nmcfnlbi  26947  cnlnadjlem7  26968  nmopcoi  26990  nmopcoadji  26996  branmfn  27000  strlem1  27145  lgamgulmlem2  28549  lgamgulmlem5  28552  lgamcvg2  28574  subfaclim  28609  ftc1cnnclem  30063  ftc1anclem5  30069  lmclim2  30226  geomcau  30227  cntotbnd  30267  irrapxlem2  30734  irrapxlem5  30737  pellexlem2  30741  oddcomabszz  30855  jm2.19  30910  jm2.26lem3  30918  lcmgcdlem  31188  nzprmdif  31200  0ellimcdiv  31563  stoweidlem7  31678  fourierdlem30  31808  fourierdlem39  31817  absmulrposd  37640
  Copyright terms: Public domain W3C validator