MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absidd Structured version   Unicode version

Theorem absidd 12912
Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrcld.2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
absidd  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  =  A )

Proof of Theorem absidd
StepHypRef Expression
1 resqrcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 resqrcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3 absid 12788 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( abs `  A
)  =  A )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4295   ` cfv 5421   RRcr 9284   0cc0 9285    <_ cle 9422   abscabs 12726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-sup 7694  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-rp 10995  df-seq 11810  df-exp 11869  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728
This theorem is referenced by:  rlimno1  13134  iseralt  13165  cvgcmpce  13284  divrcnv  13318  geomulcvg  13339  cvgrat  13346  mertenslem2  13348  eftabs  13364  efcllem  13366  efaddlem  13381  eftlub  13396  eflegeo  13408  ef01bndlem  13471  absef  13484  efieq1re  13486  divalg2  13612  nn0gcdid0  13712  absmulgcd  13734  gcdmultiple  13737  gcdmultiplez  13738  mulgcddvds  13793  phibndlem  13848  dfphi2  13852  mul4sqlem  14017  4sqlem11  14019  prmirredlem  17920  prmirred  17922  prmirredlemOLD  17923  prmirredOLD  17925  blcvx  20378  reperflem  20398  reconnlem2  20407  nmoleub2lem3  20673  nmoleub3  20677  tchcphlem1  20753  iscmet3lem3  20804  pjthlem1  20927  lhop1lem  21488  ftc1lem4  21514  plyeq0lem  21681  aalioulem4  21804  mtest  21872  radcnvlem1  21881  radcnvlt1  21886  radcnvle  21888  dvradcnv  21889  pserdvlem2  21896  abelth2  21910  tanabsge  21971  sineq0  21986  divlogrlim  22083  logcnlem3  22092  logcnlem4  22093  logtayllem  22107  logtayl  22108  abscxp2  22141  chordthmlem4  22233  rlimcnp  22362  ftalem5  22417  lgsval2lem  22648  lgsval4a  22660  2sqlem3  22708  chebbnd1  22724  chtppilimlem2  22726  chto1ub  22728  vmadivsum  22734  vmadivsumb  22735  rpvmasumlem  22739  dchrisumlem2  22742  dchrisumlem3  22743  dchrvmasumlem2  22750  dchrvmasumiflem1  22753  dchrisum0fno1  22763  dchrisum0re  22765  rplogsum  22779  mulog2sumlem1  22786  mulog2sumlem2  22787  2vmadivsumlem  22792  selbergb  22801  selberg2lem  22802  selberg2b  22804  selberg3lem1  22809  selberg3lem2  22810  selberg4lem1  22812  pntrsumo1  22817  pntrlog2bndlem1  22829  pntrlog2bndlem2  22830  pntrlog2bndlem3  22831  pntrlog2bndlem5  22833  pntrlog2bndlem6  22835  pntrlog2bnd  22836  pntpbnd1a  22837  pntpbnd1  22838  pntibndlem2  22843  ostth2  22889  htthlem  24322  bcsiALT  24584  norm1  24655  pjhthlem1  24797  nmbdoplbi  25431  nmcexi  25433  nmcopexi  25434  nmcoplbi  25435  nmbdfnlbi  25456  nmcfnexi  25458  nmcfnlbi  25459  cnlnadjlem7  25480  nmopcoi  25502  nmopcoadji  25508  branmfn  25512  strlem1  25657  lgamgulmlem2  27019  lgamgulmlem5  27022  lgamcvg2  27044  subfaclim  27079  ftc1cnnclem  28468  ftc1anclem5  28474  lmclim2  28657  geomcau  28658  cntotbnd  28698  irrapxlem2  29167  irrapxlem5  29170  pellexlem2  29174  oddcomabszz  29288  jm2.19  29345  jm2.26lem3  29353  stoweidlem7  29805
  Copyright terms: Public domain W3C validator