MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absidd Unicode version

Theorem absidd 12180
Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrcld.2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
absidd  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  =  A )

Proof of Theorem absidd
StepHypRef Expression
1 resqrcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 resqrcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3 absid 12056 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( abs `  A
)  =  A )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   ` cfv 5413   RRcr 8945   0cc0 8946    <_ cle 9077   abscabs 11994
This theorem is referenced by:  rlimno1  12402  iseralt  12433  cvgcmpce  12552  divrcnv  12587  geomulcvg  12608  cvgrat  12615  mertenslem2  12617  eftabs  12633  efcllem  12635  efaddlem  12650  eftlub  12665  eflegeo  12677  ef01bndlem  12740  absef  12753  efieq1re  12755  divalg2  12880  nn0gcdid0  12980  absmulgcd  13002  gcdmultiple  13005  gcdmultiplez  13006  mulgcddvds  13059  phibndlem  13114  dfphi2  13118  mul4sqlem  13276  4sqlem11  13278  prmirredlem  16728  prmirred  16730  blcvx  18782  reperflem  18802  reconnlem2  18811  nmoleub2lem3  19076  nmoleub3  19080  tchcphlem1  19145  iscmet3lem3  19196  pjthlem1  19291  lhop1lem  19850  ftc1lem4  19876  plyeq0lem  20082  aalioulem4  20205  mtest  20273  radcnvlem1  20282  radcnvlt1  20287  radcnvle  20289  dvradcnv  20290  pserdvlem2  20297  abelth2  20311  tanabsge  20367  sineq0  20382  divlogrlim  20479  logcnlem3  20488  logcnlem4  20489  logtayllem  20503  logtayl  20504  abscxp2  20537  chordthmlem4  20629  rlimcnp  20757  ftalem5  20812  lgsval2lem  21043  lgsval4a  21055  2sqlem3  21103  chebbnd1  21119  chtppilimlem2  21121  chto1ub  21123  vmadivsum  21129  vmadivsumb  21130  rpvmasumlem  21134  dchrisumlem2  21137  dchrisumlem3  21138  dchrvmasumlem2  21145  dchrvmasumiflem1  21148  dchrisum0fno1  21158  dchrisum0re  21160  rplogsum  21174  mulog2sumlem1  21181  mulog2sumlem2  21182  2vmadivsumlem  21187  selbergb  21196  selberg2lem  21197  selberg2b  21199  selberg3lem1  21204  selberg3lem2  21205  selberg4lem1  21207  pntrsumo1  21212  pntrlog2bndlem1  21224  pntrlog2bndlem2  21225  pntrlog2bndlem3  21226  pntrlog2bndlem5  21228  pntrlog2bndlem6  21230  pntrlog2bnd  21231  pntpbnd1a  21232  pntpbnd1  21233  pntibndlem2  21238  ostth2  21284  htthlem  22373  bcsiALT  22634  norm1  22704  pjhthlem1  22846  nmbdoplbi  23480  nmcexi  23482  nmcopexi  23483  nmcoplbi  23484  nmbdfnlbi  23505  nmcfnexi  23507  nmcfnlbi  23508  cnlnadjlem7  23529  nmopcoi  23551  nmopcoadji  23557  branmfn  23561  strlem1  23706  lgamgulmlem2  24767  lgamgulmlem5  24770  lgamcvg2  24792  subfaclim  24827  ftc1cnnclem  26177  lmclim2  26354  geomcau  26355  cntotbnd  26395  irrapxlem2  26776  irrapxlem5  26779  pellexlem2  26783  oddcomabszz  26897  jm2.19  26954  jm2.26lem3  26962  stoweidlem7  27623
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996
  Copyright terms: Public domain W3C validator