MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absid Structured version   Unicode version

Theorem absid 13079
Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
absid  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( abs `  A
)  =  A )

Proof of Theorem absid
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  RR )
21recnd 9611 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  CC )
3 absval 13021 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( abs `  A
)  =  ( sqr `  ( A  x.  (
* `  A )
) ) )
51cjred 13009 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( * `  A
)  =  A )
65oveq2d 6291 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  x.  (
* `  A )
)  =  ( A  x.  A ) )
72sqvald 12262 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A ) )
86, 7eqtr4d 2504 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  x.  (
* `  A )
)  =  ( A ^ 2 ) )
98fveq2d 5861 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) )  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) )
10 sqrsq 13053 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( sqr `  ( A ^ 2 ) )  =  A )
114, 9, 103eqtrd 2505 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( abs `  A
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481    x. cmul 9486    <_ cle 9618   2c2 10574   ^cexp 12122   *ccj 12879   sqrcsqr 13016   abscabs 13017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-seq 12064  df-exp 12123  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019
This theorem is referenced by:  abs1  13080  absnid  13081  leabs  13082  absor  13083  sqabs  13090  max0add  13093  absidm  13105  abssubge0  13109  fzomaxdiflem  13124  absidi  13159  absidd  13203  o1fsum  13576  geo2lim  13636  geoihalfsum  13643  ege2le3  13676  eirrlem  13787  rpnnen2lem3  13800  rpnnen2lem9  13806  iscmet3lem3  21457  minveclem2  21569  mbfi1fseqlem6  21855  dvfsumrlim  22160  aaliou3lem3  22467  pserulm  22544  pige3  22636  efif1olem4  22658  cxpcn3lem  22842  log2cnv  22996  log2tlbnd  22997  cxplim  23022  cxploglim2  23029  divsqrsumo1  23034  fsumharmonic  23062  logfacrlim  23220  logexprlim  23221  dchrmusum2  23400  dchrvmasumlem3  23405  dchrisum0lem1  23422  dchrisum0lem2a  23423  dchrisum0lem2  23424  mudivsum  23436  mulogsumlem  23437  log2sumbnd  23450  selberglem2  23452  selberg3lem1  23463  pntpbnd2  23493  pntibndlem2  23497  pntlemn  23506  pntlemj  23509  pntlemo  23513  nvsge0  25092  nmoub2i  25215  minvecolem2  25317  zetacvg  28047  subfacval3  28123  ftc1anclem5  29522  oddcomabszz  30335  fourierdlem68  31294
  Copyright terms: Public domain W3C validator