MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absid Structured version   Unicode version

Theorem absid 12889
Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
absid  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( abs `  A
)  =  A )

Proof of Theorem absid
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  RR )
21recnd 9515 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  CC )
3 absval 12831 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( abs `  A
)  =  ( sqr `  ( A  x.  (
* `  A )
) ) )
51cjred 12819 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( * `  A
)  =  A )
65oveq2d 6208 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  x.  (
* `  A )
)  =  ( A  x.  A ) )
72sqvald 12108 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A ) )
86, 7eqtr4d 2495 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  x.  (
* `  A )
)  =  ( A ^ 2 ) )
98fveq2d 5795 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) )  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) )
10 sqrsq 12863 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( sqr `  ( A ^ 2 ) )  =  A )
114, 9, 103eqtrd 2496 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( abs `  A
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4392   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   CCcc 9383   RRcr 9384   0cc0 9385    x. cmul 9390    <_ cle 9522   2c2 10474   ^cexp 11968   *ccj 12689   sqrcsqr 12826   abscabs 12827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-sup 7794  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-rp 11095  df-seq 11910  df-exp 11969  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829
This theorem is referenced by:  abs1  12890  absnid  12891  leabs  12892  absor  12893  sqabs  12900  max0add  12903  absidm  12915  abssubge0  12919  fzomaxdiflem  12934  absidi  12969  absidd  13013  o1fsum  13380  geo2lim  13439  geoihalfsum  13446  ege2le3  13479  eirrlem  13590  rpnnen2lem3  13603  rpnnen2lem9  13609  iscmet3lem3  20919  minveclem2  21031  mbfi1fseqlem6  21316  dvfsumrlim  21621  aaliou3lem3  21928  pserulm  22005  pige3  22097  efif1olem4  22119  cxpcn3lem  22303  log2cnv  22457  log2tlbnd  22458  cxplim  22483  cxploglim2  22490  divsqrsumo1  22495  fsumharmonic  22523  logfacrlim  22681  logexprlim  22682  dchrmusum2  22861  dchrvmasumlem3  22866  dchrisum0lem1  22883  dchrisum0lem2a  22884  dchrisum0lem2  22885  mudivsum  22897  mulogsumlem  22898  log2sumbnd  22911  selberglem2  22913  selberg3lem1  22924  pntpbnd2  22954  pntibndlem2  22958  pntlemn  22967  pntlemj  22970  pntlemo  22974  nvsge0  24188  nmoub2i  24311  minvecolem2  24413  zetacvg  27137  subfacval3  27213  ftc1anclem5  28611  oddcomabszz  29425
  Copyright terms: Public domain W3C validator