MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absid Structured version   Unicode version

Theorem absid 13211
Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
absid  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( abs `  A
)  =  A )

Proof of Theorem absid
StepHypRef Expression
1 simpl 455 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  RR )
21recnd 9611 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  CC )
3 absval 13153 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( abs `  A
)  =  ( sqr `  ( A  x.  (
* `  A )
) ) )
51cjred 13141 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( * `  A
)  =  A )
65oveq2d 6286 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  x.  (
* `  A )
)  =  ( A  x.  A ) )
72sqvald 12289 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A ) )
86, 7eqtr4d 2498 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  x.  (
* `  A )
)  =  ( A ^ 2 ) )
98fveq2d 5852 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) )  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) )
10 sqrtsq 13185 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( sqr `  ( A ^ 2 ) )  =  A )
114, 9, 103eqtrd 2499 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( abs `  A
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481    x. cmul 9486    <_ cle 9618   2c2 10581   ^cexp 12148   *ccj 13011   sqrcsqrt 13148   abscabs 13149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151
This theorem is referenced by:  abs1  13212  absnid  13213  leabs  13214  absor  13215  sqabs  13222  max0add  13225  absidm  13238  abssubge0  13242  fzomaxdiflem  13257  absidi  13292  absidd  13336  o1fsum  13709  geo2lim  13766  geoihalfsum  13773  ege2le3  13907  eirrlem  14019  rpnnen2lem3  14034  rpnnen2lem9  14040  iscmet3lem3  21895  minveclem2  22007  mbfi1fseqlem6  22293  dvfsumrlim  22598  aaliou3lem3  22906  pserulm  22983  pige3  23076  efif1olem4  23098  cxpcn3lem  23289  log2cnv  23472  log2tlbnd  23473  cxplim  23499  cxploglim2  23506  divsqrtsumo1  23511  fsumharmonic  23539  logfacrlim  23697  logexprlim  23698  dchrmusum2  23877  dchrvmasumlem3  23882  dchrisum0lem1  23899  dchrisum0lem2a  23900  dchrisum0lem2  23901  mudivsum  23913  mulogsumlem  23914  log2sumbnd  23927  selberglem2  23929  selberg3lem1  23940  pntpbnd2  23970  pntibndlem2  23974  pntlemn  23983  pntlemj  23986  pntlemo  23990  nvsge0  25764  nmoub2i  25887  minvecolem2  25989  zetacvg  28821  subfacval3  28897  ftc1anclem5  30334  oddcomabszz  31119  fourierdlem68  32196
  Copyright terms: Public domain W3C validator