Theorem absefm1lei 8677

Description: The absolute value of the exponential function minus 1 is less than or equal to the exponential function minus 1 of the absolute value. (Contributed by Paul Chapman, 11-Sep-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
absefm1le.1	|- A e. CC

Assertion

Ref	Expression
absefm1lei	|- (abs` ((exp` A) - 1)) <_ ((exp` (abs` A)) - 1)

Proof of Theorem absefm1lei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprex 4907	. 2 |- ((exp` A) - 1) e. _V
2		oprex 4907	. 2 |- ((exp` (abs` A)) - 1) e. _V
3		nn0ex 7314	. . 3 |- NN0 e. _V
4	3	opabex2 4539	. 2 |- {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))} e. _V
5	3	opabex2 4539	. 2 |- {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((abs` A)^j) / (!` j)))} e. _V
6		1z 7368	. 2 |- 1 e. ZZ
7		elnnuz 7609	. . . . 5 |- (k e. NN <-> k e. (ZZ>=` 1))
8		nnnn0 7315	. . . . 5 |- (k e. NN -> k e. NN0)
9	7, 8	sylbir 218	. . . 4 |- (k e. (ZZ>=` 1) -> k e. NN0)
10		eqid 1884	. . . . . 6 |- {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))} = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
11	10	eftval 8578	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k) = ((A^k) / (!` k)))
12		absefm1le.1	. . . . . 6 |- A e. CC
13		eftcl 8565	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ k e. NN0) -> ((A^k) / (!` k)) e. CC)
14	12, 13	mpan 759	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> ((A^k) / (!` k)) e. CC)
15	11, 14	eqeltrd 1971	. . . 4 |- (k e. NN0 -> ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k) e. CC)
16	9, 15	syl 12	. . 3 |- (k e. (ZZ>=` 1) -> ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k) e. CC)
17		expcl 7824	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ k e. NN0) -> (A^k) e. CC)
18	12, 17	mpan 759	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> (A^k) e. CC)
19		faccl 8192	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> (!` k) e. NN)
20		nnre 7112	. . . . . . . 8 |- ((!` k) e. NN -> (!` k) e. RR)
21		recn 6466	. . . . . . . 8 |- ((!` k) e. RR -> (!` k) e. CC)
22	19, 20, 21	3syl 24	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> (!` k) e. CC)
23		facne0 8193	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> (!` k) =/= 0)
24		absdiv 8111	. . . . . . 7 |- (((A^k) e. CC /\ (!` k) e. CC /\ (!` k) =/= 0) -> (abs` ((A^k) / (!` k))) = ((abs` (A^k)) / (abs` (!` k))))
25	18, 22, 23, 24	syl111anc 1100	. . . . . 6 |- (k e. NN0 -> (abs` ((A^k) / (!` k))) = ((abs` (A^k)) / (abs` (!` k))))
26		absexp 8119	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ k e. NN0) -> (abs` (A^k)) = ((abs` A)^k))
27	12, 26	mpan 759	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> (abs` (A^k)) = ((abs` A)^k))
28	19, 20	syl 12	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> (!` k) e. RR)
29		nngt0 7129	. . . . . . . . . 10 |- ((!` k) e. NN -> 0 < (!` k))
30	19, 29	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> 0 < (!` k))
31		0re 6603	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
32		ltle 6690	. . . . . . . . . 10 |- ((0 e. RR /\ (!` k) e. RR) -> (0 < (!` k) -> 0 <_ (!` k)))
33	31, 32	mpan 759	. . . . . . . . 9 |- ((!` k) e. RR -> (0 < (!` k) -> 0 <_ (!` k)))
34	28, 30, 33	sylc 83	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> 0 <_ (!` k))
35		absid 8113	. . . . . . . 8 |- (((!` k) e. RR /\ 0 <_ (!` k)) -> (abs` (!` k)) = (!` k))
36	28, 34, 35	syl11anc 524	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> (abs` (!` k)) = (!` k))
37	27, 36	opreq12d 4900	. . . . . 6 |- (k e. NN0 -> ((abs` (A^k)) / (abs` (!` k))) = (((abs` A)^k) / (!` k)))
38	25, 37	eqtrd 1925	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> (abs` ((A^k) / (!` k))) = (((abs` A)^k) / (!` k)))
39	11	fveq2d 4685	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> (abs` ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k)) = (abs` ((A^k) / (!` k))))
40		eqid 1884	. . . . . 6 |- {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((abs` A)^j) / (!` j)))} = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((abs` A)^j) / (!` j)))}
41	40	eftval 8578	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((abs` A)^j) / (!` j)))}` k) = (((abs` A)^k) / (!` k)))
42	38, 39, 41	3eqtr4rd 1939	. . . 4 |- (k e. NN0 -> ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((abs` A)^j) / (!` j)))}` k) = (abs` ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k)))
43	9, 42	syl 12	. . 3 |- (k e. (ZZ>=` 1) -> ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((abs` A)^j) / (!` j)))}` k) = (abs` ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k)))
44	16, 43	jca 310	. 2 |- (k e. (ZZ>=` 1) -> (({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k) e. CC /\ ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((abs` A)^j) / (!` j)))}` k) = (abs` ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k))))
45	10, 12	efm1limi 8676	. 2 |- (<.1, + >. seq {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}) ~~> ((exp` A) - 1)
46	12	abscli 8090	. . . 4 |- (abs` A) e. RR
47	46	recni 6467	. . 3 |- (abs` A) e. CC
48	40, 47	efm1limi 8676	. 2 |- (<.1, + >. seq {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((abs` A)^j) / (!` j)))}) ~~> ((exp` (abs` A)) - 1)
49	1, 2, 4, 5, 6, 44, 45, 48	iserzabsi 8439	1 |- (abs` ((exp` A) - 1)) <_ ((exp` (abs` A)) - 1)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   class class class wbr 3338  {copab 3395  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   - cmin 6445   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449  NN0cn0 6450   < clt 6653  ZZ>=cuz 7586  ^cexp 7811  abscabs 8000  !cfa 8183  expce 8555

This theorem is referenced by:  efcnlem2 8685

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-seq0 7777  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-fac 8184  df-clim 8235  df-sum 8240  df-ef 8560

Copyright terms: Public domain