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Theorem absefib 13584
Description: A number is real iff its imaginary exponential has absolute value one. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
absefib  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )  =  1 ) )

Proof of Theorem absefib
StepHypRef Expression
1 ef0 13478 . . . . 5  |-  ( exp `  0 )  =  1
21eqeq2i 2469 . . . 4  |-  ( ( exp `  -u (
Im `  A )
)  =  ( exp `  0 )  <->  ( exp `  -u ( Im `  A
) )  =  1 )
3 imcl 12702 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
43renegcld 9876 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  A )  e.  RR )
5 0re 9487 . . . . 5  |-  0  e.  RR
6 reef11 13505 . . . . 5  |-  ( (
-u ( Im `  A )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( exp `  -u ( Im `  A ) )  =  ( exp `  0
)  <->  -u ( Im `  A )  =  0 ) )
74, 5, 6sylancl 662 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  -u (
Im `  A )
)  =  ( exp `  0 )  <->  -u ( Im
`  A )  =  0 ) )
82, 7syl5bbr 259 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  -u (
Im `  A )
)  =  1  <->  -u (
Im `  A )  =  0 ) )
93recnd 9513 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
109negeq0d 9812 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  =  0  <->  -u (
Im `  A )  =  0 ) )
118, 10bitr4d 256 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  -u (
Im `  A )
)  =  1  <->  (
Im `  A )  =  0 ) )
12 ax-icn 9442 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
13 mulcl 9467 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
1412, 13mpan 670 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
15 absef 13583 . . . . 5  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )  =  ( exp `  ( Re
`  ( _i  x.  A ) ) ) )
1614, 15syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )  =  ( exp `  ( Re
`  ( _i  x.  A ) ) ) )
17 replim 12707 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
18 recl 12701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
1918recnd 9513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
20 mulcl 9467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
2112, 9, 20sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
2219, 21addcomd 9672 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( Re `  A
) ) )
2317, 22eqtrd 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( Re `  A
) ) )
2423oveq2d 6206 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  =  ( _i  x.  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( Re
`  A ) ) ) )
25 adddi 9472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
( _i  x.  (
Im `  A )
)  +  ( Re
`  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  +  ( _i  x.  ( Re `  A ) ) ) )
2612, 25mp3an1 1302 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
( _i  x.  (
Im `  A )
)  +  ( Re
`  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  +  ( _i  x.  ( Re `  A ) ) ) )
2721, 19, 26syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( (
_i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( Re `  A
) ) )  =  ( ( _i  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  +  ( _i  x.  ( Re
`  A ) ) ) )
28 ixi 10066 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
2928oveq1i 6200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) )  =  ( -u 1  x.  ( Im `  A
) )
30 mulass 9471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  (
Im `  A )  e.  CC )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) )  =  ( _i  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
3112, 12, 30mp3an12 1305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  A )  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) )  =  ( _i  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
329, 31syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) )  =  ( _i  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
339mulm1d 9897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u 1  x.  ( Im
`  A ) )  =  -u ( Im `  A ) )
3429, 32, 333eqtr3a 2516 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( _i  x.  ( Im `  A
) ) )  = 
-u ( Im `  A ) )
3534oveq1d 6205 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  +  ( _i  x.  ( Re `  A ) ) )  =  (
-u ( Im `  A )  +  ( _i  x.  ( Re
`  A ) ) ) )
3627, 35eqtrd 2492 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( (
_i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( Re `  A
) ) )  =  ( -u ( Im
`  A )  +  ( _i  x.  (
Re `  A )
) ) )
3724, 36eqtrd 2492 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  =  ( -u (
Im `  A )  +  ( _i  x.  ( Re `  A ) ) ) )
3837fveq2d 5793 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( _i  x.  A ) )  =  ( Re `  ( -u ( Im `  A
)  +  ( _i  x.  ( Re `  A ) ) ) ) )
394, 18crred 12822 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( -u (
Im `  A )  +  ( _i  x.  ( Re `  A ) ) ) )  = 
-u ( Im `  A ) )
4038, 39eqtrd 2492 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( _i  x.  A ) )  = 
-u ( Im `  A ) )
4140fveq2d 5793 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( Re `  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )
4216, 41eqtrd 2492 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )  =  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )
4342eqeq1d 2453 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  ( exp `  ( _i  x.  A ) ) )  =  1  <->  ( exp `  -u ( Im `  A
) )  =  1 ) )
44 reim0b 12710 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
4511, 43, 443bitr4rd 286 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )  =  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   CCcc 9381   RRcr 9382   0cc0 9383   1c1 9384   _ici 9385    + caddc 9386    x. cmul 9388   -ucneg 9697   Recre 12688   Imcim 12689   abscabs 12825   expce 13449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461  ax-addf 9462  ax-mulf 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-er 7201  df-pm 7317  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-sup 7792  df-oi 7825  df-card 8210  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-rp 11093  df-ico 11407  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-fl 11743  df-seq 11908  df-exp 11967  df-fac 12153  df-bc 12180  df-hash 12205  df-shft 12658  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-limsup 13051  df-clim 13068  df-rlim 13069  df-sum 13266  df-ef 13455  df-sin 13457  df-cos 13458
This theorem is referenced by:  sineq0  22099  sineq0ALT  31973
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