Theorem absefib 8750

Description: A number is real iff its imaginary exponential has absolute value one.

Assertion

Ref	Expression
absefib	|- (A e. CC -> (A e. RR <-> (abs` (exp` (_i x. A))) = 1))

Proof of Theorem absefib

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axicn 6423	. . . . . 6 |- _i e. CC
2		mulcl 6456	. . . . . 6 |- ((_i e. CC /\ A e. CC) -> (_i x. A) e. CC)
3	1, 2	mpan 759	. . . . 5 |- (A e. CC -> (_i x. A) e. CC)
4		absef 8749	. . . . 5 |- ((_i x. A) e. CC -> (abs` (exp` (_i x. A))) = (exp` (Re` (_i x. A))))
5	3, 4	syl 12	. . . 4 |- (A e. CC -> (abs` (exp` (_i x. A))) = (exp` (Re` (_i x. A))))
6		replim 8011	. . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> A = ((Re` A) + (_i x. (Im` A))))
7		recl 8007	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. CC -> (Re` A) e. RR)
8	7	recnd 6468	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. CC -> (Re` A) e. CC)
9		mulcl 6456	. . . . . . . . . . . 12 |- ((_i e. CC /\ (Im` A) e. CC) -> (_i x. (Im` A)) e. CC)
10		imcl 8008	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. CC -> (Im` A) e. RR)
11	10	recnd 6468	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. CC -> (Im` A) e. CC)
12	9, 1, 11	sylancr 526	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. CC -> (_i x. (Im` A)) e. CC)
13		addcom 6458	. . . . . . . . . . 11 |- (((Re` A) e. CC /\ (_i x. (Im` A)) e. CC) -> ((Re` A) + (_i x. (Im` A))) = ((_i x. (Im` A)) + (Re` A)))
14	8, 12, 13	syl11anc 524	. . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> ((Re` A) + (_i x. (Im` A))) = ((_i x. (Im` A)) + (Re` A)))
15	6, 14	eqtrd 1925	. . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> A = ((_i x. (Im` A)) + (Re` A)))
16	15	opreq2d 4898	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (_i x. A) = (_i x. ((_i x. (Im` A)) + (Re` A))))
17		adddi 6462	. . . . . . . . . 10 |- ((_i e. CC /\ (_i x. (Im` A)) e. CC /\ (Re` A) e. CC) -> (_i x. ((_i x. (Im` A)) + (Re` A))) = ((_i x. (_i x. (Im` A))) + (_i x. (Re` A))))
18	1, 17	mp3an1 1178	. . . . . . . . 9 |- (((_i x. (Im` A)) e. CC /\ (Re` A) e. CC) -> (_i x. ((_i x. (Im` A)) + (Re` A))) = ((_i x. (_i x. (Im` A))) + (_i x. (Re` A))))
19	12, 8, 18	syl11anc 524	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (_i x. ((_i x. (Im` A)) + (Re` A))) = ((_i x. (_i x. (Im` A))) + (_i x. (Re` A))))
20		mulass 6461	. . . . . . . . . . . 12 |- ((_i e. CC /\ _i e. CC /\ (Im` A) e. CC) -> ((_i x. _i) x. (Im` A)) = (_i x. (_i x. (Im` A))))
21	1, 1, 20	mp3an12 1181	. . . . . . . . . . 11 |- ((Im` A) e. CC -> ((_i x. _i) x. (Im` A)) = (_i x. (_i x. (Im` A))))
22	11, 21	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> ((_i x. _i) x. (Im` A)) = (_i x. (_i x. (Im` A))))
23		mulm1 6638	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Im` A) e. CC -> (-u1 x. (Im` A)) = -u(Im` A))
24	11, 23	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. CC -> (-u1 x. (Im` A)) = -u(Im` A))
25		ixi 6872	. . . . . . . . . . . 12 |- (_i x. _i) = -u1
26	25	opreq1i 4892	. . . . . . . . . . 11 |- ((_i x. _i) x. (Im` A)) = (-u1 x. (Im` A))
27	24, 26	syl5eq 1940	. . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> ((_i x. _i) x. (Im` A)) = -u(Im` A))
28	22, 27	eqtr3d 1927	. . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> (_i x. (_i x. (Im` A))) = -u(Im` A))
29	28	opreq1d 4897	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> ((_i x. (_i x. (Im` A))) + (_i x. (Re` A))) = (-u(Im` A) + (_i x. (Re` A))))
30	16, 19, 29	3eqtrd 1929	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (_i x. A) = (-u(Im` A) + (_i x. (Re` A))))
31	30	fveq2d 4685	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (Re` (_i x. A)) = (Re` (-u(Im` A) + (_i x. (Re` A)))))
32		renegcl 6600	. . . . . . . 8 |- ((Im` A) e. RR -> -u(Im` A) e. RR)
33	10, 32	syl 12	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> -u(Im` A) e. RR)
34		crre 8019	. . . . . . 7 |- ((-u(Im` A) e. RR /\ (Re` A) e. RR) -> (Re` (-u(Im` A) + (_i x. (Re` A)))) = -u(Im` A))
35	33, 7, 34	syl11anc 524	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (Re` (-u(Im` A) + (_i x. (Re` A)))) = -u(Im` A))
36	31, 35	eqtrd 1925	. . . . 5 |- (A e. CC -> (Re` (_i x. A)) = -u(Im` A))
37	36	fveq2d 4685	. . . 4 |- (A e. CC -> (exp` (Re` (_i x. A))) = (exp` -u(Im` A)))
38	5, 37	eqtrd 1925	. . 3 |- (A e. CC -> (abs` (exp` (_i x. A))) = (exp` -u(Im` A)))
39	38	eqeq1d 1892	. 2 |- (A e. CC -> ((abs` (exp` (_i x. A))) = 1 <-> (exp` -u(Im` A)) = 1))
40		negeq0 6984	. . . 4 |- ((Im` A) e. CC -> ((Im` A) = 0 <-> -u(Im` A) = 0))
41	11, 40	syl 12	. . 3 |- (A e. CC -> ((Im` A) = 0 <-> -u(Im` A) = 0))
42		reim0b 8025	. . 3 |- (A e. CC -> (A e. RR <-> (Im` A) = 0))
43		reef11 8674	. . . . 5 |- ((-u(Im` A) e. RR /\ 0 e. RR) -> ((exp` -u(Im` A)) = (exp` 0) <-> -u(Im` A) = 0))
44		0re 6603	. . . . 5 |- 0 e. RR
45	43, 33, 44	sylancl 525	. . . 4 |- (A e. CC -> ((exp` -u(Im` A)) = (exp` 0) <-> -u(Im` A) = 0))
46		ef0 8597	. . . . 5 |- (exp` 0) = 1
47	46	eqeq2i 1894	. . . 4 |- ((exp` -u(Im` A)) = (exp` 0) <-> (exp` -u(Im` A)) = 1)
48	45, 47	syl5bbr 593	. . 3 |- (A e. CC -> ((exp` -u(Im` A)) = 1 <-> -u(Im` A) = 0))
49	41, 42, 48	3bitr4rd 610	. 2 |- (A e. CC -> ((exp` -u(Im` A)) = 1 <-> A e. RR))
50	39, 49	bitr2d 588	1 |- (A e. CC -> (A e. RR <-> (abs` (exp` (_i x. A))) = 1))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387  _ici 6388   + caddc 6389   x. cmul 6391  -ucneg 6446  Recre 7997  Imcim 7998  abscabs 8000  expce 8555

This theorem is referenced by:  sineq0re 10067

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-seq0 7777  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-fac 8184  df-bc 8209  df-clim 8235  df-sum 8240  df-ef 8560  df-sin 8562  df-cos 8563

Copyright terms: Public domain