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Theorem absefib 13790
Description: A number is real iff its imaginary exponential has absolute value one. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
absefib  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )  =  1 ) )

Proof of Theorem absefib
StepHypRef Expression
1 ef0 13684 . . . . 5  |-  ( exp `  0 )  =  1
21eqeq2i 2485 . . . 4  |-  ( ( exp `  -u (
Im `  A )
)  =  ( exp `  0 )  <->  ( exp `  -u ( Im `  A
) )  =  1 )
3 imcl 12903 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
43renegcld 9982 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  A )  e.  RR )
5 0re 9592 . . . . 5  |-  0  e.  RR
6 reef11 13711 . . . . 5  |-  ( (
-u ( Im `  A )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( exp `  -u ( Im `  A ) )  =  ( exp `  0
)  <->  -u ( Im `  A )  =  0 ) )
74, 5, 6sylancl 662 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  -u (
Im `  A )
)  =  ( exp `  0 )  <->  -u ( Im
`  A )  =  0 ) )
82, 7syl5bbr 259 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  -u (
Im `  A )
)  =  1  <->  -u (
Im `  A )  =  0 ) )
93recnd 9618 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
109negeq0d 9918 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  =  0  <->  -u (
Im `  A )  =  0 ) )
118, 10bitr4d 256 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  -u (
Im `  A )
)  =  1  <->  (
Im `  A )  =  0 ) )
12 ax-icn 9547 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
13 mulcl 9572 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
1412, 13mpan 670 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
15 absef 13789 . . . . 5  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )  =  ( exp `  ( Re
`  ( _i  x.  A ) ) ) )
1614, 15syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )  =  ( exp `  ( Re
`  ( _i  x.  A ) ) ) )
17 replim 12908 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
18 recl 12902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
1918recnd 9618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
20 mulcl 9572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
2112, 9, 20sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
2219, 21addcomd 9777 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( Re `  A
) ) )
2317, 22eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( Re `  A
) ) )
2423oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  =  ( _i  x.  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( Re
`  A ) ) ) )
25 adddi 9577 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
( _i  x.  (
Im `  A )
)  +  ( Re
`  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  +  ( _i  x.  ( Re `  A ) ) ) )
2612, 25mp3an1 1311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
( _i  x.  (
Im `  A )
)  +  ( Re
`  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  +  ( _i  x.  ( Re `  A ) ) ) )
2721, 19, 26syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( (
_i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( Re `  A
) ) )  =  ( ( _i  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  +  ( _i  x.  ( Re
`  A ) ) ) )
28 ixi 10174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
2928oveq1i 6292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) )  =  ( -u 1  x.  ( Im `  A
) )
30 mulass 9576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  (
Im `  A )  e.  CC )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) )  =  ( _i  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
3112, 12, 30mp3an12 1314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  A )  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) )  =  ( _i  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
329, 31syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) )  =  ( _i  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
339mulm1d 10004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u 1  x.  ( Im
`  A ) )  =  -u ( Im `  A ) )
3429, 32, 333eqtr3a 2532 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( _i  x.  ( Im `  A
) ) )  = 
-u ( Im `  A ) )
3534oveq1d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  +  ( _i  x.  ( Re `  A ) ) )  =  (
-u ( Im `  A )  +  ( _i  x.  ( Re
`  A ) ) ) )
3627, 35eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( (
_i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( Re `  A
) ) )  =  ( -u ( Im
`  A )  +  ( _i  x.  (
Re `  A )
) ) )
3724, 36eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  =  ( -u (
Im `  A )  +  ( _i  x.  ( Re `  A ) ) ) )
3837fveq2d 5868 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( _i  x.  A ) )  =  ( Re `  ( -u ( Im `  A
)  +  ( _i  x.  ( Re `  A ) ) ) ) )
394, 18crred 13023 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( -u (
Im `  A )  +  ( _i  x.  ( Re `  A ) ) ) )  = 
-u ( Im `  A ) )
4038, 39eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( _i  x.  A ) )  = 
-u ( Im `  A ) )
4140fveq2d 5868 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( Re `  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )
4216, 41eqtrd 2508 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )  =  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )
4342eqeq1d 2469 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  ( exp `  ( _i  x.  A ) ) )  =  1  <->  ( exp `  -u ( Im `  A
) )  =  1 ) )
44 reim0b 12911 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
4511, 43, 443bitr4rd 286 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )  =  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   _ici 9490    + caddc 9491    x. cmul 9493   -ucneg 9802   Recre 12889   Imcim 12890   abscabs 13026   expce 13655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-ico 11531  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-ef 13661  df-sin 13663  df-cos 13664
This theorem is referenced by:  sineq0  22647  sineq0ALT  32817
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