MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absefi Structured version   Unicode version

Theorem absefi 14140
Description: The absolute value of the exponential function of an imaginary number is one. Equation 48 of [Rudin] p. 167. (Contributed by Jason Orendorff, 9-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
absefi  |-  ( A  e.  RR  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )  =  1 )

Proof of Theorem absefi
StepHypRef Expression
1 recn 9612 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
2 efival 14096 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
43fveq2d 5853 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )  =  ( abs `  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )
5 recoscl 14085 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  e.  RR )
6 resincl 14084 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  A )  e.  RR )
7 absreim 13275 . . . 4  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  RR  /\  ( sin `  A )  e.  RR )  -> 
( abs `  (
( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  =  ( sqr `  (
( ( cos `  A
) ^ 2 )  +  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) )
85, 6, 7syl2anc 659 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( abs `  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  =  ( sqr `  ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  +  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) )
95resqcld 12380 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
) ^ 2 )  e.  RR )
109recnd 9652 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
116resqcld 12380 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( sin `  A
) ^ 2 )  e.  RR )
1211recnd 9652 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( sin `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
1310, 12addcomd 9816 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( cos `  A
) ^ 2 )  +  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) )
14 sincossq 14120 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
151, 14syl 17 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
1613, 15eqtrd 2443 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( cos `  A
) ^ 2 )  +  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
1716fveq2d 5853 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sqr `  ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  +  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) ) )  =  ( sqr `  1 ) )
18 sqrt1 13254 . . . 4  |-  ( sqr `  1 )  =  1
1917, 18syl6eq 2459 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sqr `  ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  +  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) ) )  =  1 )
208, 19eqtrd 2443 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( abs `  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  =  1 )
214, 20eqtrd 2443 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   1c1 9523   _ici 9524    + caddc 9525    x. cmul 9527   2c2 10626   ^cexp 12210   sqrcsqrt 13215   abscabs 13216   expce 14006   sincsin 14008   cosccos 14009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-ico 11588  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-bc 12425  df-hash 12453  df-shft 13049  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-limsup 13443  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-ef 14012  df-sin 14014  df-cos 14015
This theorem is referenced by:  absef  14141  efieq1re  14143  pige3  23202  efif1olem4  23224  efifo  23226
  Copyright terms: Public domain W3C validator