MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absef Structured version   Unicode version

Theorem absef 13782
Description: The absolute value of the exponential function is the exponential function of the real part. (Contributed by Paul Chapman, 13-Sep-2007.)
Assertion
Ref Expression
absef  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  A
) )  =  ( exp `  ( Re
`  A ) ) )

Proof of Theorem absef
StepHypRef Expression
1 replim 12899 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
21fveq2d 5861 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  A )  =  ( exp `  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
3 recl 12893 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
43recnd 9611 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
5 ax-icn 9540 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
6 imcl 12894 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
76recnd 9611 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
8 mulcl 9565 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
95, 7, 8sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
10 efadd 13680 . . . . . 6  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( Re
`  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
114, 9, 10syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  =  ( ( exp `  (
Re `  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
122, 11eqtrd 2501 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  A )  =  ( ( exp `  (
Re `  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
1312fveq2d 5861 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  A
) )  =  ( abs `  ( ( exp `  ( Re
`  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )
143reefcld 13674 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( Re `  A ) )  e.  RR )
1514recnd 9611 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( Re `  A ) )  e.  CC )
16 efcl 13669 . . . . 5  |-  ( ( _i  x.  ( Im
`  A ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC )
179, 16syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC )
1815, 17absmuld 13234 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( ( exp `  ( Re `  A
) )  x.  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( exp `  (
Re `  A )
) )  x.  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )
19 absefi 13781 . . . . 5  |-  ( ( Im `  A )  e.  RR  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  1 )
206, 19syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  1 )
2120oveq2d 6291 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  ( exp `  ( Re `  A ) ) )  x.  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( exp `  (
Re `  A )
) )  x.  1 ) )
2213, 18, 213eqtrd 2505 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  A
) )  =  ( ( abs `  ( exp `  ( Re `  A ) ) )  x.  1 ) )
2315abscld 13216 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  (
Re `  A )
) )  e.  RR )
2423recnd 9611 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  (
Re `  A )
) )  e.  CC )
2524mulid1d 9602 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  ( exp `  ( Re `  A ) ) )  x.  1 )  =  ( abs `  ( exp `  ( Re `  A ) ) ) )
26 efgt0 13688 . . . . 5  |-  ( ( Re `  A )  e.  RR  ->  0  <  ( exp `  (
Re `  A )
) )
273, 26syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <  ( exp `  (
Re `  A )
) )
28 0re 9585 . . . . 5  |-  0  e.  RR
29 ltle 9662 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( exp `  ( Re
`  A ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <  ( exp `  ( Re `  A ) )  -> 
0  <_  ( exp `  ( Re `  A
) ) ) )
3028, 14, 29sylancr 663 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  <  ( exp `  ( Re `  A
) )  ->  0  <_  ( exp `  (
Re `  A )
) ) )
3127, 30mpd 15 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( exp `  (
Re `  A )
) )
3214, 31absidd 13203 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  (
Re `  A )
) )  =  ( exp `  ( Re
`  A ) ) )
3322, 25, 323eqtrd 2505 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  A
) )  =  ( exp `  ( Re
`  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   _ici 9483    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618   Recre 12880   Imcim 12881   abscabs 13017   expce 13648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-ico 11524  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-fac 12309  df-bc 12336  df-hash 12361  df-shft 12850  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-limsup 13243  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-ef 13654  df-sin 13656  df-cos 13657
This theorem is referenced by:  absefib  13783  eff1olem  22661  relog  22702  abscxp  22794  abscxp2  22795  abscxpbnd  22848  zetacvg  28183
  Copyright terms: Public domain W3C validator