MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absdvdsb Structured version   Unicode version

Theorem absdvdsb 14013
Description: An integer divides another iff its absolute value does. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
absdvdsb  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( abs `  M ) 
||  N ) )

Proof of Theorem absdvdsb
StepHypRef Expression
1 breq1 4459 . . . 4  |-  ( ( abs `  M )  =  M  ->  (
( abs `  M
)  ||  N  <->  M  ||  N
) )
21bicomd 201 . . 3  |-  ( ( abs `  M )  =  M  ->  ( M  ||  N  <->  ( abs `  M )  ||  N
) )
32a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  =  M  -> 
( M  ||  N  <->  ( abs `  M ) 
||  N ) ) )
4 negdvdsb 14011 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  -u M  ||  N ) )
5 breq1 4459 . . . . 5  |-  ( ( abs `  M )  =  -u M  ->  (
( abs `  M
)  ||  N  <->  -u M  ||  N ) )
65bicomd 201 . . . 4  |-  ( ( abs `  M )  =  -u M  ->  ( -u M  ||  N  <->  ( abs `  M )  ||  N
) )
74, 6sylan9bb 699 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( abs `  M
)  =  -u M
)  ->  ( M  ||  N  <->  ( abs `  M
)  ||  N )
)
87ex 434 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  =  -u M  ->  ( M  ||  N  <->  ( abs `  M ) 
||  N ) ) )
9 zre 10889 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
109absord 13258 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( abs `  M
)  =  M  \/  ( abs `  M )  =  -u M ) )
1110adantr 465 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  =  M  \/  ( abs `  M )  =  -u M ) )
123, 8, 11mpjaod 381 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( abs `  M ) 
||  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   class class class wbr 4456   ` cfv 5594   -ucneg 9825   ZZcz 10885   abscabs 13078    || cdvds 13997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-seq 12110  df-exp 12169  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-dvds 13998
This theorem is referenced by:  divalglem9  14070  gcd0id  14172  dvdssq  14209  pc2dvds  14413  prmirredlem  18649  prmirredlemOLD  18652  dvdsleabs2  31088  dvdsabsmod0  31090  lcmdvds  31376  lcmgcdeq  31378  nznngen  31383
  Copyright terms: Public domain W3C validator