MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absdvdsb Structured version   Unicode version

Theorem absdvdsb 13543
Description: An integer divides another iff its absolute value does. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
absdvdsb  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( abs `  M ) 
||  N ) )

Proof of Theorem absdvdsb
StepHypRef Expression
1 breq1 4290 . . . 4  |-  ( ( abs `  M )  =  M  ->  (
( abs `  M
)  ||  N  <->  M  ||  N
) )
21bicomd 201 . . 3  |-  ( ( abs `  M )  =  M  ->  ( M  ||  N  <->  ( abs `  M )  ||  N
) )
32a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  =  M  -> 
( M  ||  N  <->  ( abs `  M ) 
||  N ) ) )
4 negdvdsb 13541 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  -u M  ||  N ) )
5 breq1 4290 . . . . 5  |-  ( ( abs `  M )  =  -u M  ->  (
( abs `  M
)  ||  N  <->  -u M  ||  N ) )
65bicomd 201 . . . 4  |-  ( ( abs `  M )  =  -u M  ->  ( -u M  ||  N  <->  ( abs `  M )  ||  N
) )
74, 6sylan9bb 699 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( abs `  M
)  =  -u M
)  ->  ( M  ||  N  <->  ( abs `  M
)  ||  N )
)
87ex 434 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  =  -u M  ->  ( M  ||  N  <->  ( abs `  M ) 
||  N ) ) )
9 zre 10642 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
109absord 12894 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( abs `  M
)  =  M  \/  ( abs `  M )  =  -u M ) )
1110adantr 465 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  M
)  =  M  \/  ( abs `  M )  =  -u M ) )
123, 8, 11mpjaod 381 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( abs `  M ) 
||  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4287   ` cfv 5413   -ucneg 9588   ZZcz 10638   abscabs 12715    || cdivides 13527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-dvds 13528
This theorem is referenced by:  divalglem9  13597  gcd0id  13699  dvdssq  13736  pc2dvds  13937  prmirredlem  17892  prmirredlemOLD  17895  dvdsleabs2  29286  dvdsabsmod0  29288
  Copyright terms: Public domain W3C validator