MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absdivd Structured version   Unicode version

Theorem absdivd 13248
Description: Absolute value distributes over division. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
abssubd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
absdivd.2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
absdivd  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  /  B ) )  =  ( ( abs `  A )  /  ( abs `  B ) ) )

Proof of Theorem absdivd
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 abssubd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 absdivd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 absdiv 13090 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( A  /  B ) )  =  ( ( abs `  A
)  /  ( abs `  B ) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1228 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  /  B ) )  =  ( ( abs `  A )  /  ( abs `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   CCcc 9489   0cc0 9491    / cdiv 10205   abscabs 13029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7900  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-rp 11220  df-seq 12075  df-exp 12134  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031
This theorem is referenced by:  reccn2  13381  rlimno1  13438  o1fsum  13589  divrcnv  13626  georeclim  13643  eftabs  13672  efcllem  13674  efaddlem  13689  mul4sqlem  14329  gzrngunit  18267  pjthlem1  21603  iblabsr  21987  iblmulc2  21988  c1liplem1  22148  ftc1lem4  22191  ulmdvlem1  22545  dvradcnv  22566  eff1olem  22684  logcnlem4  22770  lawcoslem1  22891  isosctrlem3  22898  cxploglim2  23052  fsumharmonic  23085  logfacrlim  23243  2sqlem3  23385  dchrmusum2  23423  dchrvmasumlem3  23428  dchrisum0lem1  23445  dchrisum0lem2a  23446  mudivsum  23459  mulogsumlem  23460  2vmadivsumlem  23469  selberg3lem1  23486  selberg3lem2  23487  selberg4lem1  23489  pntrlog2bndlem1  23506  pntrlog2bndlem3  23508  pntrlog2bndlem5  23510  pntrlog2bndlem6  23512  pntpbnd1a  23514  pntpbnd2  23516  pntibndlem2  23520  pntlemo  23536  pjhthlem1  26001  qqhnm  27623  lgamgulmlem2  28228  lgamgulmlem5  28231  lgamcvg2  28253  iblmulc2nc  29673  ftc1cnnclem  29681  pellexlem2  30386  pellexlem6  30390  modabsdifz  30547  0ellimcdiv  31207  dvdivbd  31269  fourierdlem30  31453  fourierdlem39  31462
  Copyright terms: Public domain W3C validator