MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absdivd Structured version   Unicode version

Theorem absdivd 12941
Description: Absolute value distributes over division. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
abssubd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
absdivd.2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
absdivd  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  /  B ) )  =  ( ( abs `  A )  /  ( abs `  B ) ) )

Proof of Theorem absdivd
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 abssubd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 absdivd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 absdiv 12784 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( A  /  B ) )  =  ( ( abs `  A
)  /  ( abs `  B ) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1218 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  /  B ) )  =  ( ( abs `  A )  /  ( abs `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   0cc0 9282    / cdiv 9993   abscabs 12723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-seq 11807  df-exp 11866  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725
This theorem is referenced by:  reccn2  13074  rlimno1  13131  o1fsum  13276  divrcnv  13315  georeclim  13332  eftabs  13361  efcllem  13363  efaddlem  13378  mul4sqlem  14014  gzrngunit  17878  pjthlem1  20924  iblabsr  21307  iblmulc2  21308  c1liplem1  21468  ftc1lem4  21511  ulmdvlem1  21865  dvradcnv  21886  eff1olem  22004  logcnlem4  22090  lawcoslem1  22211  isosctrlem3  22218  cxploglim2  22372  fsumharmonic  22405  logfacrlim  22563  2sqlem3  22705  dchrmusum2  22743  dchrvmasumlem3  22748  dchrisum0lem1  22765  dchrisum0lem2a  22766  mudivsum  22779  mulogsumlem  22780  2vmadivsumlem  22789  selberg3lem1  22806  selberg3lem2  22807  selberg4lem1  22809  pntrlog2bndlem1  22826  pntrlog2bndlem3  22828  pntrlog2bndlem5  22830  pntrlog2bndlem6  22832  pntpbnd1a  22834  pntpbnd2  22836  pntibndlem2  22840  pntlemo  22856  pjhthlem1  24794  qqhnm  26419  lgamgulmlem2  27016  lgamgulmlem5  27019  lgamcvg2  27041  iblmulc2nc  28457  ftc1cnnclem  28465  pellexlem2  29171  pellexlem6  29175  modabsdifz  29334
  Copyright terms: Public domain W3C validator