MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abscvgcvg Structured version   Unicode version

Theorem abscvgcvg 13635
Description: An absolutely convergent series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abscvgcvg.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
abscvgcvg.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
abscvgcvg.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( abs `  ( G `  k )
) )
abscvgcvg.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
abscvgcvg.5  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Assertion
Ref Expression
abscvgcvg  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    k, F    k, G    k, M    ph, k    k, Z

Proof of Theorem abscvgcvg
StepHypRef Expression
1 abscvgcvg.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 abscvgcvg.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 uzid 11015 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
54, 1syl6eleqr 2481 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
6 abscvgcvg.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( abs `  ( G `  k )
) )
7 abscvgcvg.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
87abscld 13269 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  e.  RR )
96, 8eqeltrd 2470 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
10 abscvgcvg.5 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
11 1red 9522 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
121eleq2i 2460 . . 3  |-  ( k  e.  Z  <->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
136eqcomd 2390 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  =  ( F `  k
) )
14 eqle 9598 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  ( G `  k )
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( G `
 k ) )  =  ( F `  k ) )  -> 
( abs `  ( G `  k )
)  <_  ( F `  k ) )
158, 13, 14syl2anc 659 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  <_ 
( F `  k
) )
169recnd 9533 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
1716mulid2d 9525 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
1  x.  ( F `
 k ) )  =  ( F `  k ) )
1815, 17breqtrrd 4393 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  <_ 
( 1  x.  ( F `  k )
) )
1912, 18sylan2br 474 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( G `  k
) )  <_  (
1  x.  ( F `
 k ) ) )
201, 5, 9, 7, 10, 11, 19cvgcmpce 13634 1  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   class class class wbr 4367   dom cdm 4913   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   CCcc 9401   RRcr 9402   1c1 9404    + caddc 9406    x. cmul 9408    <_ cle 9540   ZZcz 10781   ZZ>=cuz 11001    seqcseq 12010   abscabs 13069    ~~> cli 13309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-pm 7341  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-rp 11140  df-ico 11456  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-limsup 13296  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-sum 13511
This theorem is referenced by:  mertens  13697  radcnvlem3  22895  radcnvlt2  22899  zetacvg  28746
  Copyright terms: Public domain W3C validator