MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abscvgcvg Structured version   Unicode version

Theorem abscvgcvg 13399
Description: An absolutely convergent series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abscvgcvg.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
abscvgcvg.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
abscvgcvg.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( abs `  ( G `  k )
) )
abscvgcvg.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
abscvgcvg.5  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Assertion
Ref Expression
abscvgcvg  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    k, F    k, G    k, M    ph, k    k, Z

Proof of Theorem abscvgcvg
StepHypRef Expression
1 abscvgcvg.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 abscvgcvg.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 uzid 10985 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
54, 1syl6eleqr 2553 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
6 abscvgcvg.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( abs `  ( G `  k )
) )
7 abscvgcvg.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
87abscld 13039 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  e.  RR )
96, 8eqeltrd 2542 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
10 abscvgcvg.5 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
11 1red 9511 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
121eleq2i 2532 . . 3  |-  ( k  e.  Z  <->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
136eqcomd 2462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  =  ( F `  k
) )
14 eqle 9587 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  ( G `  k )
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( G `
 k ) )  =  ( F `  k ) )  -> 
( abs `  ( G `  k )
)  <_  ( F `  k ) )
158, 13, 14syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  <_ 
( F `  k
) )
169recnd 9522 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
1716mulid2d 9514 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
1  x.  ( F `
 k ) )  =  ( F `  k ) )
1815, 17breqtrrd 4425 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  <_ 
( 1  x.  ( F `  k )
) )
1912, 18sylan2br 476 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( G `  k
) )  <_  (
1  x.  ( F `
 k ) ) )
201, 5, 9, 7, 10, 11, 19cvgcmpce 13398 1  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4399   dom cdm 4947   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   CCcc 9390   RRcr 9391   1c1 9393    + caddc 9395    x. cmul 9397    <_ cle 9529   ZZcz 10756   ZZ>=cuz 10971    seqcseq 11922   abscabs 12840    ~~> cli 13079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470  ax-addf 9471  ax-mulf 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-pm 7326  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-rp 11102  df-ico 11416  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-fl 11758  df-seq 11923  df-exp 11982  df-hash 12220  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-limsup 13066  df-clim 13083  df-rlim 13084  df-sum 13281
This theorem is referenced by:  mertens  13463  radcnvlem3  22012  radcnvlt2  22016  zetacvg  27144
  Copyright terms: Public domain W3C validator