MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abscncf Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem abscncf 21933
Description: Absolute value is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 21-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
abscncf  |-  abs  e.  ( CC -cn-> RR )

Proof of Theorem abscncf
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 absf 13400 . 2  |-  abs : CC
--> RR
2 abscn2 13662 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  CC  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( abs `  w
)  -  ( abs `  x ) ) )  <  y ) )
32rgen2 2813 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  CC  (
( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( abs `  w
)  -  ( abs `  x ) ) )  <  y )
4 ssid 3451 . . 3  |-  CC  C_  CC
5 ax-resscn 9596 . . 3  |-  RR  C_  CC
6 elcncf2 21922 . . 3  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( abs  e.  ( CC -cn-> RR )  <->  ( abs : CC
--> RR  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  CC  (
( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( abs `  w
)  -  ( abs `  x ) ) )  <  y ) ) ) )
74, 5, 6mp2an 678 . 2  |-  ( abs 
e.  ( CC -cn-> RR )  <->  ( abs : CC
--> RR  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  CC  (
( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( abs `  w
)  -  ( abs `  x ) ) )  <  y ) ) )
81, 3, 7mpbir2an 931 1  |-  abs  e.  ( CC -cn-> RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738    C_ wss 3404   class class class wbr 4402   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538    < clt 9675    - cmin 9860   RR+crp 11302   abscabs 13297   -cn->ccncf 21908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-cncf 21910
This theorem is referenced by:  cniccbdd  22412  iblabslem  22785  iblabs  22786  bddmulibl  22796  logcn  23592  ftalem3  23999  ftc1cnnclem  32015  ftc2nc  32026  evthiccabs  37593  cncficcgt0  37766
  Copyright terms: Public domain W3C validator