MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abscncf Structured version   Unicode version

Theorem abscncf 21589
Description: Absolute value is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 21-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
abscncf  |-  abs  e.  ( CC -cn-> RR )

Proof of Theorem abscncf
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 absf 13226 . 2  |-  abs : CC
--> RR
2 abscn2 13477 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  CC  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( abs `  w
)  -  ( abs `  x ) ) )  <  y ) )
32rgen2 2828 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  CC  (
( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( abs `  w
)  -  ( abs `  x ) ) )  <  y )
4 ssid 3460 . . 3  |-  CC  C_  CC
5 ax-resscn 9499 . . 3  |-  RR  C_  CC
6 elcncf2 21578 . . 3  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( abs  e.  ( CC -cn-> RR )  <->  ( abs : CC
--> RR  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  CC  (
( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( abs `  w
)  -  ( abs `  x ) ) )  <  y ) ) ) )
74, 5, 6mp2an 670 . 2  |-  ( abs 
e.  ( CC -cn-> RR )  <->  ( abs : CC
--> RR  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  CC  (
( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( abs `  w
)  -  ( abs `  x ) ) )  <  y ) ) )
81, 3, 7mpbir2an 921 1  |-  abs  e.  ( CC -cn-> RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1842   A.wral 2753   E.wrex 2754    C_ wss 3413   class class class wbr 4394   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   CCcc 9440   RRcr 9441    < clt 9578    - cmin 9761   RR+crp 11183   abscabs 13123   -cn->ccncf 21564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-map 7379  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-sup 7855  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-rp 11184  df-seq 12062  df-exp 12121  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-cncf 21566
This theorem is referenced by:  cniccbdd  22057  iblabslem  22418  iblabs  22419  bddmulibl  22429  logcn  23214  ftalem3  23621  ftc1cnnclem  31442  ftc2nc  31453  evthiccabs  36879  cncficcgt0  37041
  Copyright terms: Public domain W3C validator