Theorem abscn 9682

Description: The absolute value function on complex numbers is continuous.

Hypotheses

Ref	Expression
abscn.1	|- C = (abs o. - )
abscn.2	|- R = ((abs o. - ) |` (RR X. RR))
abscn.3	|- J = (Open` C)
abscn.4	|- K = (Open` R)

Assertion

Ref	Expression
abscn	|- abs e. (J Cn K)

Proof of Theorem abscn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . . 4 |- (norm` <.<. + , x. >., abs>.) = (norm` <.<. + , x. >., abs>.)
2	1	nmfval 9558	. . 3 |- (norm` <.<. + , x. >., abs>.) = (2nd` <.<. + , x. >., abs>.)
3		opex 3527	. . . 4 |- <. + , x. >. e. _V
4		absf 8158	. . . . 5 |- abs:CC-->RR
5		axcnex 6419	. . . . 5 |- CC e. _V
6		fex 4595	. . . . 5 |- ((abs:CC-->RR /\ CC e. _V) -> abs e. _V)
7	4, 5, 6	mp2an 761	. . . 4 |- abs e. _V
8	3, 7	op2nd 5027	. . 3 |- (2nd` <.<. + , x. >., abs>.) = abs
9	2, 8	eqtr2i 1909	. 2 |- abs = (norm` <.<. + , x. >., abs>.)
10		abscn.1	. . 3 |- C = (abs o. - )
11		eqid 1884	. . . 4 |- <.<. + , x. >., abs>. = <.<. + , x. >., abs>.
12		eqid 1884	. . . 4 |- (abs o. - ) = (abs o. - )
13	11, 12	cnims 9666	. . 3 |- (abs o. - ) = (IndMet` <.<. + , x. >., abs>.)
14	10, 13	eqtri 1908	. 2 |- C = (IndMet` <.<. + , x. >., abs>.)
15		abscn.2	. 2 |- R = ((abs o. - ) |` (RR X. RR))
16		abscn.3	. 2 |- J = (Open` C)
17		abscn.4	. 2 |- K = (Open` R)
18	11	cnnv 9639	. 2 |- <.<. + , x. >., abs>. e. NrmCVec
19	9, 14, 15, 16, 17, 18	nmcni 9677	1 |- abs e. (J Cn K)

Syntax hints:   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  <.cop 3046   X. cxp 3984   |` cres 3988   o. ccom 3990  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  2ndc2nd 5019  CCcc 6384  RRcr 6385   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445  abscabs 8000   Cn ccn 9028  Opencopn 9069  normcnm 9541  IndMetcims 9542

This theorem is referenced by:  abscncfALT 9683

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-top 8861  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552

Copyright terms: Public domain