Theorem abscn 8427

Description: The absolute value function on complex numbers is continuous.

Hypotheses

Ref	Expression
abscn.1	|- C = (abs o. - )
abscn.2	|- R = ((abs o. - ) |` (RR X. RR))
abscn.3	|- J = (Open` C)
abscn.4	|- K = (Open` R)

Assertion

Ref	Expression
abscn	|- abs e. (J Cn K)

Proof of Theorem abscn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1522	. . . 4 |- (norm` <.<. + , x. >., abs>.) = (norm` <.<. + , x. >., abs>.)
2	1	nmfval 8310	. . 3 |- (norm` <.<. + , x. >., abs>.) = (2nd` <.<. + , x. >., abs>.)
3		opex 2838	. . . 4 |- <. + , x. >. e. V
4		absf 6996	. . . . 5 |- abs:CC-->RR
5		axcnex 5332	. . . . 5 |- CC e. V
6		fex 3709	. . . . 5 |- ((abs:CC-->RR /\ CC e. V) -> abs e. V)
7	4, 5, 6	mp2an 709	. . . 4 |- abs e. V
8	3, 7	op2nd 4144	. . 3 |- (2nd` <.<. + , x. >., abs>.) = abs
9	2, 8	eqtr2i 1543	. 2 |- abs = (norm` <.<. + , x. >., abs>.)
10		abscn.1	. . 3 |- C = (abs o. - )
11		eqid 1522	. . . 4 |- <.<. + , x. >., abs>. = <.<. + , x. >., abs>.
12		eqid 1522	. . . 4 |- (abs o. - ) = (abs o. - )
13	11, 12	cnims 8418	. . 3 |- (abs o. - ) = (IndMet` <.<. + , x. >., abs>.)
14	10, 13	eqtri 1542	. 2 |- C = (IndMet` <.<. + , x. >., abs>.)
15		abscn.2	. 2 |- R = ((abs o. - ) |` (RR X. RR))
16		abscn.3	. 2 |- J = (Open` C)
17		abscn.4	. 2 |- K = (Open` R)
18	11	cnnv 8391	. 2 |- <.<. + , x. >., abs>. e. NrmCVec
19	9, 14, 15, 16, 17, 18	nmcni 8422	1 |- abs e. (J Cn K)

Syntax hints:   = wceq 997   e. wcel 999  Vcvv 1858  <.cop 2463   X. cxp 3225   |` cres 3229   o. ccom 3231  -->wf 3235  ` cfv 3239  (class class class)co 4021  2ndc2nd 4136  CCcc 5297  RRcr 5298   + caddc 5302   x. cmul 5304   - cmin 5357  abscabs 6840   Cn ccn 7837  Opencopn 7877  normcnm 8293  IndMetcims 8294

This theorem is referenced by:  abscncfALT 8428

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-inf2 4687

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-nel 1635  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-map 4385  df-en 4429  df-dom 4430  df-sdom 4431  df-sup 4634  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-mp 5154  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-mpr 5230  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-mr 5234  df-ltr 5235  df-0r 5236  df-1r 5237  df-m1r 5238  df-c 5305  df-0 5306  df-1 5307  df-i 5308  df-r 5309  df-plus 5310  df-mul 5311  df-lt 5312  df-sub 5421  df-neg 5423  df-pnf 5552  df-mnf 5553  df-xr 5554  df-ltxr 5555  df-le 5556  df-div 5768  df-n 5985  df-2 6031  df-n0 6182  df-z 6218  df-seq1 6567  df-exp 6658  df-sqr 6760  df-re 6841  df-im 6842  df-cj 6843  df-abs 6844  df-top 7684  df-cn 7839  df-cnp 7840  df-met 7878  df-bl 7880  df-opn 7881  df-grp 8122  df-gid 8123  df-ginv 8124  df-gdiv 8125  df-abl 8184  df-vc 8249  df-nv 8295  df-va 8298  df-ba 8299  df-sm 8300  df-0v 8301  df-vs 8302  df-nm 8303  df-ims 8304

Copyright terms: Public domain