MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abscl Structured version   Unicode version

Theorem abscl 12765
Description: Real closure of absolute value. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
abscl  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem abscl
StepHypRef Expression
1 absval 12725 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )
2 cjmulrcl 12631 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  ( * `  A ) )  e.  RR )
3 cjmulge0 12633 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( A  x.  (
* `  A )
) )
4 resqrcl 12741 . . 3  |-  ( ( ( A  x.  (
* `  A )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( A  x.  ( * `  A
) ) )  -> 
( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) )  e.  RR )
52, 3, 4syl2anc 661 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A
) ) )  e.  RR )
61, 5eqeltrd 2515 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   class class class wbr 4290   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   CCcc 9278   RRcr 9279   0cc0 9280    x. cmul 9285    <_ cle 9417   *ccj 12583   sqrcsqr 12720   abscabs 12721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-sup 7689  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-rp 10990  df-seq 11805  df-exp 11864  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723
This theorem is referenced by:  absreim  12780  absdiv  12782  leabs  12786  absexp  12791  absexpz  12792  sqabs  12794  absimle  12796  abslt  12800  absle  12801  abssubne0  12802  lenegsq  12806  releabs  12807  recval  12808  absidm  12809  absgt0  12810  abstri  12816  abs2dif  12818  abs2difabs  12820  abs1m  12821  absf  12823  abs3lem  12824  abslem2  12825  absrdbnd  12827  caubnd2  12843  caubnd  12844  sqreulem  12845  sqreu  12846  abscli  12880  abscld  12920  mulcn2  13071  seqabs  13275  cvgcmpce  13279  divrcnv  13313  geomulcvg  13334  efcllem  13361  cnbl0  20351  cnblcld  20352  cncmet  20831  iblmulc2  21306  bddmulibl  21314  dveflem  21449  abelth  21904  efiarg  22054  argregt0  22057  argimgt0  22059  tanarg  22066  logtayllem  22102  bndatandm  22322  atantayl  22330  efrlim  22361  ftalem2  22409  lgslem3  22635  smcnlem  24090  cncph  24217  nmophmi  25433  bdophmi  25434  zrhnm  26396
  Copyright terms: Public domain W3C validator