MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abscl Structured version   Unicode version

Theorem abscl 13320
Description: Real closure of absolute value. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
abscl  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem abscl
StepHypRef Expression
1 absval 13280 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )
2 cjmulrcl 13186 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  ( * `  A ) )  e.  RR )
3 cjmulge0 13188 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( A  x.  (
* `  A )
) )
4 resqrtcl 13296 . . 3  |-  ( ( ( A  x.  (
* `  A )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( A  x.  ( * `  A
) ) )  -> 
( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) )  e.  RR )
52, 3, 4syl2anc 665 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A
) ) )  e.  RR )
61, 5eqeltrd 2517 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1870   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538    x. cmul 9543    <_ cle 9675   *ccj 13138   sqrcsqrt 13275   abscabs 13276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278
This theorem is referenced by:  absreim  13335  absdiv  13337  leabs  13341  absexp  13346  absexpz  13347  sqabs  13349  absimle  13351  abslt  13356  absle  13357  abssubne0  13358  lenegsq  13362  releabs  13363  recval  13364  absidm  13365  absgt0  13366  abstri  13372  abs2dif  13374  abs2difabs  13376  abs1m  13377  absf  13379  abs3lem  13380  abslem2  13381  absrdbnd  13383  caubnd2  13399  caubnd  13400  sqreulem  13401  sqreu  13402  abscli  13436  abscld  13476  mulcn2  13637  seqabs  13852  cvgcmpce  13856  divrcnv  13888  geomulcvg  13910  efcllem  14110  cnbl0  21705  cnblcld  21706  cncmet  22183  iblmulc2  22665  bddmulibl  22673  dveflem  22808  abelth  23261  efiarg  23421  argregt0  23424  argimgt0  23426  tanarg  23433  logtayllem  23469  bndatandm  23720  atantayl  23728  efrlim  23760  ftalem2  23863  lgslem3  24089  smcnlem  26178  cncph  26305  nmophmi  27519  bdophmi  27520  zrhnm  28612
  Copyright terms: Public domain W3C validator