MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abscl Structured version   Unicode version

Theorem abscl 13074
Description: Real closure of absolute value. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
abscl  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem abscl
StepHypRef Expression
1 absval 13034 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )
2 cjmulrcl 12940 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  ( * `  A ) )  e.  RR )
3 cjmulge0 12942 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( A  x.  (
* `  A )
) )
4 resqrtcl 13050 . . 3  |-  ( ( ( A  x.  (
* `  A )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( A  x.  ( * `  A
) ) )  -> 
( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) )  e.  RR )
52, 3, 4syl2anc 661 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A
) ) )  e.  RR )
61, 5eqeltrd 2555 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492    x. cmul 9497    <_ cle 9629   *ccj 12892   sqrcsqrt 13029   abscabs 13030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032
This theorem is referenced by:  absreim  13089  absdiv  13091  leabs  13095  absexp  13100  absexpz  13101  sqabs  13103  absimle  13105  abslt  13110  absle  13111  abssubne0  13112  lenegsq  13116  releabs  13117  recval  13118  absidm  13119  absgt0  13120  abstri  13126  abs2dif  13128  abs2difabs  13130  abs1m  13131  absf  13133  abs3lem  13134  abslem2  13135  absrdbnd  13137  caubnd2  13153  caubnd  13154  sqreulem  13155  sqreu  13156  abscli  13190  abscld  13230  mulcn2  13381  seqabs  13591  cvgcmpce  13595  divrcnv  13627  geomulcvg  13648  efcllem  13675  cnbl0  21044  cnblcld  21045  cncmet  21524  iblmulc2  22000  bddmulibl  22008  dveflem  22143  abelth  22598  efiarg  22748  argregt0  22751  argimgt0  22753  tanarg  22760  logtayllem  22796  bndatandm  23016  atantayl  23024  efrlim  23055  ftalem2  23103  lgslem3  23329  smcnlem  25311  cncph  25438  nmophmi  26654  bdophmi  26655  zrhnm  27614
  Copyright terms: Public domain W3C validator