MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absabv Structured version   Unicode version

Theorem absabv 17868
Description: The regular absolute value function on the complex numbers is in fact an absolute value under our definition. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
absabv  |-  abs  e.  (AbsVal ` fld )

Proof of Theorem absabv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2442 . . 3  |-  ( T. 
->  (AbsVal ` fld )  =  (AbsVal ` fld ) )
2 cnfldbas 17820 . . . 4  |-  CC  =  ( Base ` fld )
32a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  CC  =  ( Base ` fld ) )
4 cnfldadd 17821 . . . 4  |-  +  =  ( +g  ` fld )
54a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  +  =  ( +g  ` fld ) )
6 cnfldmul 17822 . . . 4  |-  x.  =  ( .r ` fld )
76a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  x.  =  ( .r
` fld
) )
8 cnfld0 17838 . . . 4  |-  0  =  ( 0g ` fld )
98a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  0  =  ( 0g ` fld ) )
10 cnrng 17836 . . . 4  |-fld  e.  Ring
1110a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->fld  e. 
Ring )
12 absf 12823 . . . 4  |-  abs : CC
--> RR
1312a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  abs : CC --> RR )
14 abs0 12772 . . . 4  |-  ( abs `  0 )  =  0
1514a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  ( abs `  0
)  =  0 )
16 absgt0 12810 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  x
) ) )
1716biimpa 484 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
0  <  ( abs `  x ) )
18173adant1 1006 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  ->  0  <  ( abs `  x
) )
19 absmul 12781 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( abs `  (
x  x.  y ) )  =  ( ( abs `  x )  x.  ( abs `  y
) ) )
2019ad2ant2r 746 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( abs `  (
x  x.  y ) )  =  ( ( abs `  x )  x.  ( abs `  y
) ) )
21203adant1 1006 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  (
y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  ->  ( abs `  (
x  x.  y ) )  =  ( ( abs `  x )  x.  ( abs `  y
) ) )
22 abstri 12816 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( abs `  (
x  +  y ) )  <_  ( ( abs `  x )  +  ( abs `  y
) ) )
2322ad2ant2r 746 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( abs `  (
x  +  y ) )  <_  ( ( abs `  x )  +  ( abs `  y
) ) )
24233adant1 1006 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  (
y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  ->  ( abs `  (
x  +  y ) )  <_  ( ( abs `  x )  +  ( abs `  y
) ) )
251, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 18, 21, 24isabvd 16903 . 2  |-  ( T. 
->  abs  e.  (AbsVal ` fld )
)
2625trud 1378 1  |-  abs  e.  (AbsVal ` fld )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756    =/= wne 2604   class class class wbr 4290   -->wf 5412   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   CCcc 9278   RRcr 9279   0cc0 9280    + caddc 9283    x. cmul 9285    < clt 9416    <_ cle 9417   abscabs 12721   Basecbs 14172   +g cplusg 14236   .rcmulr 14237   0gc0g 14376   Ringcrg 16643  AbsValcabv 16899  ℂfldccnfld 17816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358  ax-addf 9359  ax-mulf 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-sup 7689  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-10 10386  df-n0 10578  df-z 10645  df-dec 10754  df-uz 10860  df-rp 10990  df-ico 11304  df-fz 11436  df-seq 11805  df-exp 11864  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-starv 14251  df-tset 14255  df-ple 14256  df-ds 14258  df-unif 14259  df-0g 14378  df-mnd 15413  df-grp 15543  df-minusg 15544  df-cmn 16277  df-mgp 16590  df-rng 16645  df-cring 16646  df-abv 16900  df-cnfld 17817
This theorem is referenced by:  cnnrg  20358  qabsabv  22876
  Copyright terms: Public domain W3C validator