MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absabv Structured version   Unicode version

Theorem absabv 18271
Description: The regular absolute value function on the complex numbers is in fact an absolute value under our definition. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
absabv  |-  abs  e.  (AbsVal ` fld )

Proof of Theorem absabv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2468 . . 3  |-  ( T. 
->  (AbsVal ` fld )  =  (AbsVal ` fld ) )
2 cnfldbas 18223 . . . 4  |-  CC  =  ( Base ` fld )
32a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  CC  =  ( Base ` fld ) )
4 cnfldadd 18224 . . . 4  |-  +  =  ( +g  ` fld )
54a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  +  =  ( +g  ` fld ) )
6 cnfldmul 18225 . . . 4  |-  x.  =  ( .r ` fld )
76a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  x.  =  ( .r
` fld
) )
8 cnfld0 18241 . . . 4  |-  0  =  ( 0g ` fld )
98a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  0  =  ( 0g ` fld ) )
10 cnrng 18239 . . . 4  |-fld  e.  Ring
1110a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->fld  e. 
Ring )
12 absf 13133 . . . 4  |-  abs : CC
--> RR
1312a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  abs : CC --> RR )
14 abs0 13081 . . . 4  |-  ( abs `  0 )  =  0
1514a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  ( abs `  0
)  =  0 )
16 absgt0 13120 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  x
) ) )
1716biimpa 484 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
0  <  ( abs `  x ) )
18173adant1 1014 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  ->  0  <  ( abs `  x
) )
19 absmul 13090 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( abs `  (
x  x.  y ) )  =  ( ( abs `  x )  x.  ( abs `  y
) ) )
2019ad2ant2r 746 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( abs `  (
x  x.  y ) )  =  ( ( abs `  x )  x.  ( abs `  y
) ) )
21203adant1 1014 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  (
y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  ->  ( abs `  (
x  x.  y ) )  =  ( ( abs `  x )  x.  ( abs `  y
) ) )
22 abstri 13126 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( abs `  (
x  +  y ) )  <_  ( ( abs `  x )  +  ( abs `  y
) ) )
2322ad2ant2r 746 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( abs `  (
x  +  y ) )  <_  ( ( abs `  x )  +  ( abs `  y
) ) )
24233adant1 1014 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  (
y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  ->  ( abs `  (
x  +  y ) )  <_  ( ( abs `  x )  +  ( abs `  y
) ) )
251, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 18, 21, 24isabvd 17269 . 2  |-  ( T. 
->  abs  e.  (AbsVal ` fld )
)
2625trud 1388 1  |-  abs  e.  (AbsVal ` fld )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1379   T. wtru 1380    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492    + caddc 9495    x. cmul 9497    < clt 9628    <_ cle 9629   abscabs 13030   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   .rcmulr 14556   0gc0g 14695   Ringcrg 17000  AbsValcabv 17265  ℂfldccnfld 18219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-rp 11221  df-ico 11535  df-fz 11673  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-cmn 16606  df-mgp 16944  df-rng 17002  df-cring 17003  df-abv 17266  df-cnfld 18220
This theorem is referenced by:  cnnrg  21051  qabsabv  23570
  Copyright terms: Public domain W3C validator