MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abs3lemi Structured version   Unicode version

Theorem abs3lemi 13324
Description: Lemma involving absolute value of differences. (Contributed by NM, 2-Oct-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
absvalsqi.1  |-  A  e.  CC
abssub.2  |-  B  e.  CC
abs3dif.3  |-  C  e.  CC
abs3lem.4  |-  D  e.  RR
Assertion
Ref Expression
abs3lemi  |-  ( ( ( abs `  ( A  -  C )
)  <  ( D  /  2 )  /\  ( abs `  ( C  -  B ) )  <  ( D  / 
2 ) )  -> 
( abs `  ( A  -  B )
)  <  D )

Proof of Theorem abs3lemi
StepHypRef Expression
1 absvalsqi.1 . . . 4  |-  A  e.  CC
2 abssub.2 . . . 4  |-  B  e.  CC
3 abs3dif.3 . . . 4  |-  C  e.  CC
41, 2, 3abs3difi 13323 . . 3  |-  ( abs `  ( A  -  B
) )  <_  (
( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( C  -  B
) ) )
51, 3subcli 9886 . . . . 5  |-  ( A  -  C )  e.  CC
65abscli 13309 . . . 4  |-  ( abs `  ( A  -  C
) )  e.  RR
73, 2subcli 9886 . . . . 5  |-  ( C  -  B )  e.  CC
87abscli 13309 . . . 4  |-  ( abs `  ( C  -  B
) )  e.  RR
9 abs3lem.4 . . . . 5  |-  D  e.  RR
109rehalfcli 10783 . . . 4  |-  ( D  /  2 )  e.  RR
116, 8, 10, 10lt2addi 10111 . . 3  |-  ( ( ( abs `  ( A  -  C )
)  <  ( D  /  2 )  /\  ( abs `  ( C  -  B ) )  <  ( D  / 
2 ) )  -> 
( ( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( C  -  B
) ) )  < 
( ( D  / 
2 )  +  ( D  /  2 ) ) )
121, 2subcli 9886 . . . . 5  |-  ( A  -  B )  e.  CC
1312abscli 13309 . . . 4  |-  ( abs `  ( A  -  B
) )  e.  RR
146, 8readdcli 9598 . . . 4  |-  ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( C  -  B )
) )  e.  RR
1510, 10readdcli 9598 . . . 4  |-  ( ( D  /  2 )  +  ( D  / 
2 ) )  e.  RR
1613, 14, 15lelttri 9700 . . 3  |-  ( ( ( abs `  ( A  -  B )
)  <_  ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( C  -  B )
) )  /\  (
( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( C  -  B
) ) )  < 
( ( D  / 
2 )  +  ( D  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( A  -  B ) )  < 
( ( D  / 
2 )  +  ( D  /  2 ) ) )
174, 11, 16sylancr 661 . 2  |-  ( ( ( abs `  ( A  -  C )
)  <  ( D  /  2 )  /\  ( abs `  ( C  -  B ) )  <  ( D  / 
2 ) )  -> 
( abs `  ( A  -  B )
)  <  ( ( D  /  2 )  +  ( D  /  2
) ) )
1810recni 9597 . . . 4  |-  ( D  /  2 )  e.  CC
19182timesi 10652 . . 3  |-  ( 2  x.  ( D  / 
2 ) )  =  ( ( D  / 
2 )  +  ( D  /  2 ) )
209recni 9597 . . . 4  |-  D  e.  CC
21 2cn 10602 . . . 4  |-  2  e.  CC
22 2ne0 10624 . . . 4  |-  2  =/=  0
2320, 21, 22divcan2i 10283 . . 3  |-  ( 2  x.  ( D  / 
2 ) )  =  D
2419, 23eqtr3i 2485 . 2  |-  ( ( D  /  2 )  +  ( D  / 
2 ) )  =  D
2517, 24syl6breq 4478 1  |-  ( ( ( abs `  ( A  -  C )
)  <  ( D  /  2 )  /\  ( abs `  ( C  -  B ) )  <  ( D  / 
2 ) )  -> 
( abs `  ( A  -  B )
)  <  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1823   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796    / cdiv 10202   2c2 10581   abscabs 13149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator