MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abs3lemd Structured version   Unicode version

Theorem abs3lemd 13313
Description: Lemma involving absolute value of differences. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
abssubd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
abs3difd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
abs3lemd.4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
abs3lemd.5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  C )
)  <  ( D  /  2 ) )
abs3lemd.6  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( C  -  B )
)  <  ( D  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
abs3lemd  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  D )

Proof of Theorem abs3lemd
StepHypRef Expression
1 abs3lemd.5 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  C )
)  <  ( D  /  2 ) )
2 abs3lemd.6 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( C  -  B )
)  <  ( D  /  2 ) )
3 abscld.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
4 abssubd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
5 abs3difd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
6 abs3lemd.4 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
7 abs3lem 13192 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  RR ) )  -> 
( ( ( abs `  ( A  -  C
) )  <  ( D  /  2 )  /\  ( abs `  ( C  -  B ) )  <  ( D  / 
2 ) )  -> 
( abs `  ( A  -  B )
)  <  D )
)
83, 4, 5, 6, 7syl22anc 1227 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  C
) )  <  ( D  /  2 )  /\  ( abs `  ( C  -  B ) )  <  ( D  / 
2 ) )  -> 
( abs `  ( A  -  B )
)  <  D )
)
91, 2, 8mp2and 677 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1836   class class class wbr 4380   ` cfv 5509  (class class class)co 6214   CCcc 9419   RRcr 9420    < clt 9557    - cmin 9736    / cdiv 10141   2c2 10520   abscabs 13088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-cnex 9477  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-pre-mulgt0 9498  ax-pre-sup 9499
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rmo 2750  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-uni 4177  df-iun 4258  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-om 6618  df-2nd 6718  df-recs 6978  df-rdg 7012  df-er 7247  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-sup 7834  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-xr 9561  df-ltxr 9562  df-le 9563  df-sub 9738  df-neg 9739  df-div 10142  df-nn 10471  df-2 10529  df-3 10530  df-n0 10731  df-z 10800  df-uz 11020  df-rp 11158  df-seq 12030  df-exp 12089  df-cj 12953  df-re 12954  df-im 12955  df-sqrt 13089  df-abs 13090
This theorem is referenced by:  climcau  13514  ipcnlem2  21788  ulmdvlem1  22899
  Copyright terms: Public domain W3C validator