MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abs00bd Structured version   Unicode version

Theorem abs00bd 13273
Description: If a complex number is zero, its absolute value is zero. Converse of abs00d 13426. One-way deduction form of abs00 13271. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
abs00bd.1  |-  ( ph  ->  A  =  0 )
Assertion
Ref Expression
abs00bd  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  =  0 )

Proof of Theorem abs00bd
StepHypRef Expression
1 abs00bd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  =  0 )
2 0cn 9618 . . . 4  |-  0  e.  CC
31, 2syl6eqel 2498 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
43abs00ad 13272 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  =  0  <->  A  =  0 ) )
51, 4mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405   ` cfv 5569   CCcc 9520   0cc0 9522   abscabs 13216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-seq 12152  df-exp 12211  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218
This theorem is referenced by:  blcvx  21595  mulc1cncf  21701  rrxdstprj1  22128  dvlip  22686  c1lip1  22690  dveq0  22693  dv11cn  22694  ftc1lem5  22733  dvradcnv  23108  abelthlem2  23119  abelthlem8  23126  abscxp2  23368  cxpcn3lem  23417  abscxpbnd  23423  chordthmlem3  23490  rlimcnp  23621  dchrabs2  23918  dchrisumlem3  24057  pntrsumbnd2  24133  siii  26182  nmbdfnlbi  27381  nmcfnlbi  27384  ftc1cnnc  31462  pellexlem6  35131  congabseq  35273  lcmgcd  36061  dvconstbi  36087  binomcxplemnn0  36102  dvdivbd  37088  dvbdfbdioolem2  37094  ioodvbdlimc1lem1  37096
  Copyright terms: Public domain W3C validator