MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abs0 Structured version   Unicode version

Theorem abs0 12891
Description: The absolute value of 0. (Contributed by NM, 26-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
abs0  |-  ( abs `  0 )  =  0

Proof of Theorem abs0
StepHypRef Expression
1 0cn 9488 . . 3  |-  0  e.  CC
2 absval 12844 . . 3  |-  ( 0  e.  CC  ->  ( abs `  0 )  =  ( sqr `  (
0  x.  ( * `
 0 ) ) ) )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  ( abs `  0 )  =  ( sqr `  (
0  x.  ( * `
 0 ) ) )
41cjcli 12775 . . . 4  |-  ( * `
 0 )  e.  CC
54mul02i 9668 . . 3  |-  ( 0  x.  ( * ` 
0 ) )  =  0
65fveq2i 5801 . 2  |-  ( sqr `  ( 0  x.  (
* `  0 )
) )  =  ( sqr `  0 )
7 sqr0 12848 . 2  |-  ( sqr `  0 )  =  0
83, 6, 73eqtri 2487 1  |-  ( abs `  0 )  =  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   CCcc 9390   0cc0 9392    x. cmul 9397   *ccj 12702   sqrcsqr 12839   abscabs 12840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-rp 11102  df-seq 11923  df-exp 11982  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842
This theorem is referenced by:  abs00  12895  abs1m  12940  climconst  13138  rlimconst  13139  fsumabs  13381  georeclim  13449  geoisumr  13455  gcd0id  13824  4sqlem19  14141  absabv  17994  gzrngunit  18002  zringunit  18038  zrngunit  18039  rrxdstprj1  21039  aannenlem2  21927  aalioulem3  21932  tanabsge  22100  sinkpi  22113  sineq0  22115  isosctrlem2  22349  ftalem3  22544  mule1  22618  lgslem2  22768  lgsfcl2  22773  bcsiALT  24732  0cnfn  25535  nmfn0  25542  nmophmi  25586  nmcfnexi  25606  lgamgulmlem1  27158  mblfinlem2  28576  ftc1anclem7  28620  ftc1anclem8  28621  ftc1anc  28622  sineq0ALT  31990
  Copyright terms: Public domain W3C validator