MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abs0 Structured version   Unicode version

Theorem abs0 13269
Description: The absolute value of 0. (Contributed by NM, 26-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
abs0  |-  ( abs `  0 )  =  0

Proof of Theorem abs0
StepHypRef Expression
1 0cn 9620 . . 3  |-  0  e.  CC
2 absval 13222 . . 3  |-  ( 0  e.  CC  ->  ( abs `  0 )  =  ( sqr `  (
0  x.  ( * `
 0 ) ) ) )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  ( abs `  0 )  =  ( sqr `  (
0  x.  ( * `
 0 ) ) )
41cjcli 13153 . . . 4  |-  ( * `
 0 )  e.  CC
54mul02i 9805 . . 3  |-  ( 0  x.  ( * ` 
0 ) )  =  0
65fveq2i 5854 . 2  |-  ( sqr `  ( 0  x.  (
* `  0 )
) )  =  ( sqr `  0 )
7 sqrt0 13226 . 2  |-  ( sqr `  0 )  =  0
83, 6, 73eqtri 2437 1  |-  ( abs `  0 )  =  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1407    e. wcel 1844   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   CCcc 9522   0cc0 9524    x. cmul 9529   *ccj 13080   sqrcsqrt 13217   abscabs 13218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-rp 11268  df-seq 12154  df-exp 12213  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220
This theorem is referenced by:  abs00  13273  abs1m  13319  climconst  13517  rlimconst  13518  fsumabs  13768  georeclim  13835  geoisumr  13841  gcd0id  14372  4sqlem19  14692  absabv  18797  gzrngunit  18805  zringunit  18830  aannenlem2  23019  aalioulem3  23024  tanabsge  23193  sinkpi  23206  sineq0  23208  isosctrlem2  23480  lgamgulmlem1  23686  ftalem3  23731  mule1  23805  lgslem2  23955  lgsfcl2  23960  bcsiALT  26523  0cnfn  27325  nmfn0  27332  nmophmi  27376  nmcfnexi  27396  mblfinlem2  31437  ftc1anclem7  31482  ftc1anclem8  31483  ftc1anc  31484  dvgrat  36054  radcnvrat  36056  lcmid  36076  sineq0ALT  36781  constlimc  37011
  Copyright terms: Public domain W3C validator