MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abrexfi Structured version   Unicode version

Theorem abrexfi 7854
Description: An image set from a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
abrexfi  |-  ( A  e.  Fin  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, A, y    y, B
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem abrexfi
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . 3  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
21rnmpt 5069 . 2  |-  ran  (
x  e.  A  |->  B )  =  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }
3 mptfi 7853 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  Fin )
4 rnfi 7839 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  Fin  ->  ran  ( x  e.  A  |->  B )  e.  Fin )
53, 4syl 17 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ran  ( x  e.  A  |->  B )  e.  Fin )
62, 5syl5eqelr 2495 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   {cab 2387   E.wrex 2755    |-> cmpt 4453   ran crn 4824   Fincfn 7554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-fin 7558
This theorem is referenced by:  fimaxre3  10532  mertenslem2  13846  iinopn  19703  cncmp  20185  cmpsublem  20192  ptbasfi  20374  alexsublem  20836  ptcmplem3  20846  prdsbl  21286  aannenlem2  23017  aalioulem2  23021  rencldnfilem  35115
  Copyright terms: Public domain W3C validator