Theorem abrexexlem2 4835

Description: Lemma for abrexex 4836. Almost there, but still requires that B be a set.

Hypotheses

Ref	Expression
abrexex.1	|- A e. _V
abrexexlem2.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
abrexexlem2	|- {y | E.x e. A y = B} e. _V

Distinct variable groups:   x,y,A   y,B

Proof of Theorem abrexexlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 2295	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
2	1	biantrur 794	. . . . . . . . . 10 |- (y = B <-> (x e. _V /\ y = B))
3	2	opabbii 3402	. . . . . . . . 9 |- {<.x, y>. | y = B} = {<.x, y>. | (x e. _V /\ y = B)}
4	3	fveq1i 4682	. . . . . . . 8 |- ({<.x, y>. | y = B}` x) = ({<.x, y>. | (x e. _V /\ y = B)}` x)
5		abrexexlem2.2	. . . . . . . . 9 |- B e. _V
6		fvopab2 4754	. . . . . . . . 9 |- ((x e. _V /\ B e. _V) -> ({<.x, y>. | (x e. _V /\ y = B)}` x) = B)
7	1, 5, 6	mp2an 761	. . . . . . . 8 |- ({<.x, y>. | (x e. _V /\ y = B)}` x) = B
8	4, 7	eqtri 1908	. . . . . . 7 |- ({<.x, y>. | y = B}` x) = B
9	8	eqeq2i 1894	. . . . . 6 |- (y = ({<.x, y>. | y = B}` x) <-> y = B)
10	9	rexbii 2128	. . . . 5 |- (E.x e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` x) <-> E.x e. A y = B)
11		ax-17 1317	. . . . . 6 |- (y = ({<.x, y>. | y = B}` x) -> A.z y = ({<.x, y>. | y = B}` x))
12		ax-17 1317	. . . . . . 7 |- (w e. y -> A.x w e. y)
13		hbopab1 3562	. . . . . . . 8 |- (w e. {<.x, y>. | y = B} -> A.x w e. {<.x, y>. | y = B})
14		ax-17 1317	. . . . . . . 8 |- (w e. z -> A.x w e. z)
15	13, 14	hbfv 4686	. . . . . . 7 |- (w e. ({<.x, y>. | y = B}` z) -> A.x w e. ({<.x, y>. | y = B}` z))
16	12, 15	hbeq 1995	. . . . . 6 |- (y = ({<.x, y>. | y = B}` z) -> A.x y = ({<.x, y>. | y = B}` z))
17		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (x = z -> ({<.x, y>. | y = B}` x) = ({<.x, y>. | y = B}` z))
18	17	eqeq2d 1895	. . . . . 6 |- (x = z -> (y = ({<.x, y>. | y = B}` x) <-> y = ({<.x, y>. | y = B}` z)))
19	11, 16, 18	cbvrex 2279	. . . . 5 |- (E.x e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` x) <-> E.z e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` z))
20	10, 19	bitr3i 192	. . . 4 |- (E.x e. A y = B <-> E.z e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` z))
21	20	abbii 2006	. . 3 |- {y | E.x e. A y = B} = {y | E.z e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` z)}
22		ax-17 1317	. . . 4 |- (E.z e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` z) -> A.wE.z e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` z))
23		ax-17 1317	. . . . 5 |- (z e. A -> A.y z e. A)
24		ax-17 1317	. . . . . 6 |- (x e. w -> A.y x e. w)
25		hbopab2 3563	. . . . . . 7 |- (w e. {<.x, y>. | y = B} -> A.y w e. {<.x, y>. | y = B})
26		ax-17 1317	. . . . . . 7 |- (w e. z -> A.y w e. z)
27	25, 26	hbfv 4686	. . . . . 6 |- (w e. ({<.x, y>. | y = B}` z) -> A.y w e. ({<.x, y>. | y = B}` z))
28	24, 27	hbeq 1995	. . . . 5 |- (w = ({<.x, y>. | y = B}` z) -> A.y w = ({<.x, y>. | y = B}` z))
29	23, 28	hbrex 2149	. . . 4 |- (E.z e. A w = ({<.x, y>. | y = B}` z) -> A.yE.z e. A w = ({<.x, y>. | y = B}` z))
30		eqeq1 1890	. . . . 5 |- (y = w -> (y = ({<.x, y>. | y = B}` z) <-> w = ({<.x, y>. | y = B}` z)))
31	30	rexbidv 2124	. . . 4 |- (y = w -> (E.z e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` z) <-> E.z e. A w = ({<.x, y>. | y = B}` z)))
32	22, 29, 31	cbvab 2419	. . 3 |- {y | E.z e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` z)} = {w | E.z e. A w = ({<.x, y>. | y = B}` z)}
33	21, 32	eqtri 1908	. 2 |- {y | E.x e. A y = B} = {w | E.z e. A w = ({<.x, y>. | y = B}` z)}
34		abrexex.1	. . 3 |- A e. _V
35	34	abrexexlem1 4834	. 2 |- {w | E.z e. A w = ({<.x, y>. | y = B}` z)} e. _V
36	33, 35	eqeltri 1967	1 |- {y | E.x e. A y = B} e. _V

Syntax hints:   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  E.wrex 2106  _Vcvv 2292  {copab 3395  ` cfv 3998

This theorem is referenced by:  abrexex 4836

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014

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