MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abrexex2g Structured version   Unicode version

Theorem abrexex2g 6784
Description: Existence of an existentially restricted class abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
abrexex2g  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  {
y  |  ph }  e.  W )  ->  { y  |  E. x  e.  A  ph }  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, V, y    x, W, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem abrexex2g
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1754 . . . 4  |-  F/ z E. x  e.  A  ph
2 nfcv 2591 . . . . 5  |-  F/_ y A
3 nfs1v 2233 . . . . 5  |-  F/ y [ z  /  y ] ph
42, 3nfrex 2895 . . . 4  |-  F/ y E. x  e.  A  [ z  /  y ] ph
5 sbequ12 2049 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  ( ph 
<->  [ z  /  y ] ph ) )
65rexbidv 2946 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  ( E. x  e.  A  ph  <->  E. x  e.  A  [
z  /  y ]
ph ) )
71, 4, 6cbvab 2570 . . 3  |-  { y  |  E. x  e.  A  ph }  =  { z  |  E. x  e.  A  [
z  /  y ]
ph }
8 df-clab 2415 . . . . 5  |-  ( z  e.  { y  | 
ph }  <->  [ z  /  y ] ph )
98rexbii 2934 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  z  e.  { y  | 
ph }  <->  E. x  e.  A  [ z  /  y ] ph )
109abbii 2563 . . 3  |-  { z  |  E. x  e.  A  z  e.  {
y  |  ph } }  =  { z  |  E. x  e.  A  [ z  /  y ] ph }
117, 10eqtr4i 2461 . 2  |-  { y  |  E. x  e.  A  ph }  =  { z  |  E. x  e.  A  z  e.  { y  |  ph } }
12 df-iun 4304 . . 3  |-  U_ x  e.  A  { y  |  ph }  =  {
z  |  E. x  e.  A  z  e.  { y  |  ph } }
13 iunexg 6783 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  {
y  |  ph }  e.  W )  ->  U_ x  e.  A  { y  |  ph }  e.  _V )
1412, 13syl5eqelr 2522 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  {
y  |  ph }  e.  W )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  e.  {
y  |  ph } }  e.  _V )
1511, 14syl5eqel 2521 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  {
y  |  ph }  e.  W )  ->  { y  |  E. x  e.  A  ph }  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370   [wsb 1789    e. wcel 1870   {cab 2414   A.wral 2782   E.wrex 2783   _Vcvv 3087   U_ciun 4302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609
This theorem is referenced by:  ptrescn  20585  sdclem2  31774  sdclem1  31775
  Copyright terms: Public domain W3C validator