Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  abrexdomjm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem abrexdomjm 28220
Description: An indexed set is dominated by the indexing set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
abrexdomjm.1  |-  ( y  e.  A  ->  E* x ph )
Assertion
Ref Expression
abrexdomjm  |-  ( A  e.  V  ->  { x  |  E. y  e.  A  ph }  ~<_  A )
Distinct variable group:    x, A, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem abrexdomjm
StepHypRef Expression
1 df-rex 2762 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  ph  <->  E. y ( y  e.  A  /\  ph )
)
21abbii 2587 . . 3  |-  { x  |  E. y  e.  A  ph }  =  { x  |  E. y ( y  e.  A  /\  ph ) }
3 rnopab 5085 . . 3  |-  ran  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  =  { x  |  E. y ( y  e.  A  /\  ph ) }
42, 3eqtr4i 2496 . 2  |-  { x  |  E. y  e.  A  ph }  =  ran  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }
5 dmopabss 5052 . . . . 5  |-  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  C_  A
6 ssexg 4542 . . . . 5  |-  ( ( dom  { <. y ,  x >.  |  (
y  e.  A  /\  ph ) }  C_  A  /\  A  e.  V
)  ->  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  e.  _V )
75, 6mpan 684 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  dom  {
<. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  e.  _V )
8 funopab 5622 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
{ <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) } 
<-> 
A. y E* x
( y  e.  A  /\  ph ) )
9 abrexdomjm.1 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  E* x ph )
10 moanimv 2380 . . . . . . . 8  |-  ( E* x ( y  e.  A  /\  ph )  <->  ( y  e.  A  ->  E* x ph ) )
119, 10mpbir 214 . . . . . . 7  |-  E* x
( y  e.  A  /\  ph )
128, 11mpgbir 1681 . . . . . 6  |-  Fun  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }
1312a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  Fun  {
<. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) } )
14 funfn 5618 . . . . 5  |-  ( Fun 
{ <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) } 
<->  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  Fn  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) } )
1513, 14sylib 201 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  Fn  dom  {
<. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) } )
16 fnrndomg 8981 . . . 4  |-  ( dom 
{ <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  e.  _V  ->  ( { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  Fn  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  ->  ran  {
<. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  ~<_  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) } ) )
177, 15, 16sylc 61 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ran  {
<. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  ~<_  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) } )
18 ssdomg 7633 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  C_  A  ->  dom  {
<. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  ~<_  A ) )
195, 18mpi 20 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  dom  {
<. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  ~<_  A )
20 domtr 7640 . . 3  |-  ( ( ran  { <. y ,  x >.  |  (
y  e.  A  /\  ph ) }  ~<_  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  /\  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  ~<_  A )  ->  ran  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  ~<_  A )
2117, 19, 20syl2anc 673 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ran  {
<. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  ~<_  A )
224, 21syl5eqbr 4429 1  |-  ( A  e.  V  ->  { x  |  E. y  e.  A  ph }  ~<_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376   E.wex 1671    e. wcel 1904   E*wmo 2320   {cab 2457   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   class class class wbr 4395   {copab 4453   dom cdm 4839   ran crn 4840   Fun wfun 5583    Fn wfn 5584    ~<_ cdom 7585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-ac2 8911
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565
This theorem is referenced by:  abrexdom2jm  28221
  Copyright terms: Public domain W3C validator