Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  abrexdom Structured version   Unicode version

Theorem abrexdom 29852
Description: An indexed set is dominated by the indexing set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
abrexdom.1  |-  ( y  e.  A  ->  E* x ph )
Assertion
Ref Expression
abrexdom  |-  ( A  e.  V  ->  { x  |  E. y  e.  A  ph }  ~<_  A )
Distinct variable group:    x, A, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem abrexdom
StepHypRef Expression
1 df-rex 2820 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  ph  <->  E. y ( y  e.  A  /\  ph )
)
21abbii 2601 . . 3  |-  { x  |  E. y  e.  A  ph }  =  { x  |  E. y ( y  e.  A  /\  ph ) }
3 rnopab 5247 . . 3  |-  ran  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  =  { x  |  E. y ( y  e.  A  /\  ph ) }
42, 3eqtr4i 2499 . 2  |-  { x  |  E. y  e.  A  ph }  =  ran  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }
5 dmopabss 5214 . . . . 5  |-  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  C_  A
6 ssexg 4593 . . . . 5  |-  ( ( dom  { <. y ,  x >.  |  (
y  e.  A  /\  ph ) }  C_  A  /\  A  e.  V
)  ->  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  e.  _V )
75, 6mpan 670 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  dom  {
<. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  e.  _V )
8 funopab 5621 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
{ <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) } 
<-> 
A. y E* x
( y  e.  A  /\  ph ) )
9 abrexdom.1 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  E* x ph )
10 moanimv 2356 . . . . . . . 8  |-  ( E* x ( y  e.  A  /\  ph )  <->  ( y  e.  A  ->  E* x ph ) )
119, 10mpbir 209 . . . . . . 7  |-  E* x
( y  e.  A  /\  ph )
128, 11mpgbir 1605 . . . . . 6  |-  Fun  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }
1312a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  Fun  {
<. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) } )
14 funfn 5617 . . . . 5  |-  ( Fun 
{ <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) } 
<->  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  Fn  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) } )
1513, 14sylib 196 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  Fn  dom  {
<. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) } )
16 fnrndomg 8913 . . . 4  |-  ( dom 
{ <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  e.  _V  ->  ( { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  Fn  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  ->  ran  {
<. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  ~<_  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) } ) )
177, 15, 16sylc 60 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ran  {
<. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  ~<_  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) } )
18 ssdomg 7561 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  C_  A  ->  dom  {
<. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  ~<_  A ) )
195, 18mpi 17 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  dom  {
<. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  ~<_  A )
20 domtr 7568 . . 3  |-  ( ( ran  { <. y ,  x >.  |  (
y  e.  A  /\  ph ) }  ~<_  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  /\  dom  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  ~<_  A )  ->  ran  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  ~<_  A )
2117, 19, 20syl2anc 661 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ran  {
<. y ,  x >.  |  ( y  e.  A  /\  ph ) }  ~<_  A )
224, 21syl5eqbr 4480 1  |-  ( A  e.  V  ->  { x  |  E. y  e.  A  ph }  ~<_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   E.wex 1596    e. wcel 1767   E*wmo 2276   {cab 2452   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   {copab 4504   dom cdm 4999   ran crn 5000   Fun wfun 5582    Fn wfn 5583    ~<_ cdom 7514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-ac2 8843
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-card 8320  df-acn 8323  df-ac 8497
This theorem is referenced by:  abrexdom2  29853
  Copyright terms: Public domain W3C validator