Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  abrexct Structured version   Unicode version

Theorem abrexct 26151
Description: An image set of a countable set is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
abrexct  |-  ( A  ~<_  om  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ~<_  om )
Distinct variable groups:    x, y, A    y, B
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem abrexct
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . 3  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
21rnmpt 5180 . 2  |-  ran  (
x  e.  A  |->  B )  =  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }
3 1stcrestlem 19169 . 2  |-  ( A  ~<_  om  ->  ran  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )
42, 3syl5eqbrr 4421 1  |-  ( A  ~<_  om  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ~<_  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370   {cab 2436   E.wrex 2794   class class class wbr 4387    |-> cmpt 4445   ran crn 4936   omcom 6573    ~<_ cdom 7405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-se 4775  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-recs 6929  df-er 7198  df-map 7313  df-en 7408  df-dom 7409  df-card 8207  df-acn 8210
This theorem is referenced by:  sigaclcu2  26694
  Copyright terms: Public domain W3C validator