Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  abrexct Structured version   Unicode version

Theorem abrexct 27776
Description: An image set of a countable set is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
abrexct  |-  ( A  ~<_  om  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ~<_  om )
Distinct variable groups:    x, y, A    y, B
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem abrexct
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . 3  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
21rnmpt 5237 . 2  |-  ran  (
x  e.  A  |->  B )  =  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }
3 1stcrestlem 20122 . 2  |-  ( A  ~<_  om  ->  ran  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )
42, 3syl5eqbrr 4473 1  |-  ( A  ~<_  om  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ~<_  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1398   {cab 2439   E.wrex 2805   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   ran crn 4989   omcom 6673    ~<_ cdom 7507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-card 8311  df-acn 8314
This theorem is referenced by:  sigaclcu2  28353
  Copyright terms: Public domain W3C validator