MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablsubsub4 Structured version   Unicode version

Theorem ablsubsub4 17396
Description: Law for double subtraction. (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsubadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablsubadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
ablsubadd.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
ablsubsub.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
ablsubsub.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
ablsubsub.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
ablsubsub.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
Assertion
Ref Expression
ablsubsub4  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .-  Z
)  =  ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) )

Proof of Theorem ablsubsub4
StepHypRef Expression
1 ablsubsub.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
2 ablgrp 17370 . . . . 5  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
4 ablsubsub.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
5 ablsubsub.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
6 ablsubadd.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
7 ablsubadd.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  G )
86, 7grpsubcl 16685 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  e.  B )
93, 4, 5, 8syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  B )
10 ablsubsub.z . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
11 ablsubadd.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
12 eqid 2429 . . . 4  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
136, 11, 12, 7grpsubval 16660 . . 3  |-  ( ( ( X  .-  Y
)  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( X  .-  Y )  .-  Z
)  =  ( ( X  .-  Y ) 
.+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) ) )
149, 10, 13syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .-  Z
)  =  ( ( X  .-  Y ) 
.+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) ) )
156, 12grpinvcl 16662 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  Z
)  e.  B )
163, 10, 15syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  G ) `  Z
)  e.  B )
176, 11, 7, 1, 4, 5, 16ablsubsub 17395 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( Y  .-  ( ( invg `  G ) `
 Z ) ) )  =  ( ( X  .-  Y ) 
.+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) ) )
186, 11, 7, 12, 3, 5, 10grpsubinv 16678 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  .-  (
( invg `  G ) `  Z
) )  =  ( Y  .+  Z ) )
1918oveq2d 6321 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( Y  .-  ( ( invg `  G ) `
 Z ) ) )  =  ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) )
2014, 17, 193eqtr2d 2476 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .-  Z
)  =  ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1870   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084   +g cplusg 15152   Grpcgrp 16620   invgcminusg 16621   -gcsg 16622   Abelcabl 17366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-cmn 17367  df-abl 17368
This theorem is referenced by:  ablsub32  17399  ip2subdi  19142  cpmadugsumlemF  19831  baerlem5alem2  34991
  Copyright terms: Public domain W3C validator