MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablsubsub Structured version   Unicode version

Theorem ablsubsub 16624
Description: Law for double subtraction. (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsubadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablsubadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
ablsubadd.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
ablsubsub.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
ablsubsub.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
ablsubsub.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
ablsubsub.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
Assertion
Ref Expression
ablsubsub  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( Y  .-  Z ) )  =  ( ( X 
.-  Y )  .+  Z ) )

Proof of Theorem ablsubsub
StepHypRef Expression
1 ablsubsub.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
2 ablgrp 16599 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
4 ablsubsub.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
5 ablsubsub.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
6 ablsubsub.z . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
7 ablsubadd.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
8 ablsubadd.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
9 ablsubadd.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
107, 8, 9grpsubsub 15928 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .-  ( Y  .-  Z ) )  =  ( X  .+  ( Z  .-  Y ) ) )
113, 4, 5, 6, 10syl13anc 1230 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( Y  .-  Z ) )  =  ( X  .+  ( Z  .-  Y ) ) )
127, 8, 9grpaddsubass 15929 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Z
)  .-  Y )  =  ( X  .+  ( Z  .-  Y ) ) )
133, 4, 6, 5, 12syl13anc 1230 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .+  Z )  .-  Y
)  =  ( X 
.+  ( Z  .-  Y ) ) )
147, 8, 9abladdsub 16621 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( ( X  .+  Z )  .-  Y )  =  ( ( X  .-  Y
)  .+  Z )
)
151, 4, 6, 5, 14syl13anc 1230 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .+  Z )  .-  Y
)  =  ( ( X  .-  Y ) 
.+  Z ) )
1611, 13, 153eqtr2d 2514 1  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( Y  .-  Z ) )  =  ( ( X 
.-  Y )  .+  Z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   +g cplusg 14551   Grpcgrp 15723   -gcsg 15726   Abelcabl 16595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-0g 14693  df-mnd 15728  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860  df-cmn 16596  df-abl 16597
This theorem is referenced by:  ablsubsub4  16625  ablnncan  16627  ip2subdi  18446
  Copyright terms: Public domain W3C validator