MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablsubadd Structured version   Unicode version

Theorem ablsubadd 16301
Description: Relationship between Abelian group subtraction and addition. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsubadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablsubadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
ablsubadd.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
ablsubadd  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .-  Y )  =  Z  <->  ( Y  .+  Z )  =  X ) )

Proof of Theorem ablsubadd
StepHypRef Expression
1 ablgrp 16282 . . 3  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
2 ablsubadd.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 ablsubadd.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 ablsubadd.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
52, 3, 4grpsubadd 15613 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Y
)  =  Z  <->  ( Z  .+  Y )  =  X ) )
61, 5sylan 471 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .-  Y )  =  Z  <->  ( Z  .+  Y )  =  X ) )
72, 3ablcom 16294 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( Y  .+  Z )  =  ( Z  .+  Y
) )
873adant3r1 1196 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( Y  .+  Z )  =  ( Z  .+  Y ) )
98eqeq1d 2451 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( Y  .+  Z )  =  X  <->  ( Z  .+  Y )  =  X ) )
106, 9bitr4d 256 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .-  Y )  =  Z  <->  ( Y  .+  Z )  =  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   Grpcgrp 15410   -gcsg 15413   Abelcabel 16278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-0g 14380  df-mnd 15415  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-cmn 16279  df-abl 16280
This theorem is referenced by:  lmodvsubadd  16996
  Copyright terms: Public domain W3C validator