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Theorem ablsub4 17025
Description: Commutative/associative subtraction law for Abelian groups. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsubadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablsubadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
ablsubadd.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
ablsub4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .-  ( Z  .+  W ) )  =  ( ( X  .-  Z )  .+  ( Y  .-  W ) ) )

Proof of Theorem ablsub4
StepHypRef Expression
1 ablgrp 17005 . . . . 5  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
213ad2ant1 1015 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  G  e.  Grp )
3 simp2l 1020 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
4 simp2r 1021 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
5 ablsubadd.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
6 ablsubadd.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
75, 6grpcl 16265 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
82, 3, 4, 7syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  B )
9 simp3l 1022 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  Z  e.  B )
10 simp3r 1023 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  W  e.  B )
115, 6grpcl 16265 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( Z  .+  W
)  e.  B )
122, 9, 10, 11syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( Z  .+  W )  e.  B )
13 eqid 2454 . . . 4  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
14 ablsubadd.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
155, 6, 13, 14grpsubval 16295 . . 3  |-  ( ( ( X  .+  Y
)  e.  B  /\  ( Z  .+  W )  e.  B )  -> 
( ( X  .+  Y )  .-  ( Z  .+  W ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  ( ( invg `  G ) `  ( Z  .+  W ) ) ) )
168, 12, 15syl2anc 659 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .-  ( Z  .+  W ) )  =  ( ( X  .+  Y )  .+  (
( invg `  G ) `  ( Z  .+  W ) ) ) )
17 ablcmn 17006 . . . . 5  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. CMnd
)
18173ad2ant1 1015 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  G  e. CMnd )
19 simp2 995 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)
205, 13grpinvcl 16297 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  Z
)  e.  B )
212, 9, 20syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( invg `  G ) `  Z
)  e.  B )
225, 13grpinvcl 16297 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  W  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  W
)  e.  B )
232, 10, 22syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( invg `  G ) `  W
)  e.  B )
245, 6cmn4 17019 . . . 4  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 Z )  e.  B  /\  ( ( invg `  G
) `  W )  e.  B ) )  -> 
( ( X  .+  Y )  .+  (
( ( invg `  G ) `  Z
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 W ) ) )  =  ( ( X  .+  ( ( invg `  G
) `  Z )
)  .+  ( Y  .+  ( ( invg `  G ) `  W
) ) ) )
2518, 19, 21, 23, 24syl112anc 1230 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  ( (
( invg `  G ) `  Z
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 W ) ) )  =  ( ( X  .+  ( ( invg `  G
) `  Z )
)  .+  ( Y  .+  ( ( invg `  G ) `  W
) ) ) )
26 simp1 994 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  G  e.  Abel )
275, 6, 13ablinvadd 17022 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  Z  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  (
( invg `  G ) `  ( Z  .+  W ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  Z )  .+  ( ( invg `  G ) `  W
) ) )
2826, 9, 10, 27syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( invg `  G ) `  ( Z  .+  W ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  Z )  .+  ( ( invg `  G ) `  W
) ) )
2928oveq2d 6286 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 ( Z  .+  W ) ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  ( ( ( invg `  G ) `
 Z )  .+  ( ( invg `  G ) `  W
) ) ) )
305, 6, 13, 14grpsubval 16295 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  .-  Z
)  =  ( X 
.+  ( ( invg `  G ) `
 Z ) ) )
313, 9, 30syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( X  .-  Z )  =  ( X  .+  (
( invg `  G ) `  Z
) ) )
325, 6, 13, 14grpsubval 16295 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( Y  .-  W
)  =  ( Y 
.+  ( ( invg `  G ) `
 W ) ) )
334, 10, 32syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( Y  .-  W )  =  ( Y  .+  (
( invg `  G ) `  W
) ) )
3431, 33oveq12d 6288 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Z
)  .+  ( Y  .-  W ) )  =  ( ( X  .+  ( ( invg `  G ) `  Z
) )  .+  ( Y  .+  ( ( invg `  G ) `
 W ) ) ) )
3525, 29, 343eqtr4d 2505 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 ( Z  .+  W ) ) )  =  ( ( X 
.-  Z )  .+  ( Y  .-  W ) ) )
3616, 35eqtrd 2495 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .-  ( Z  .+  W ) )  =  ( ( X  .-  Z )  .+  ( Y  .-  W ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14719   +g cplusg 14787   Grpcgrp 16255   invgcminusg 16256   -gcsg 16257  CMndccmn 17000   Abelcabl 17001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-0g 14934  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-sbg 16261  df-cmn 17002  df-abl 17003
This theorem is referenced by:  abladdsub4  17026  ablpnpcan  17032  mdetuni0  19293  minveclem2  22010  baerlem3lem1  37850
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