MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablpncan2 Structured version   Unicode version

Theorem ablpncan2 16429
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 2-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsubadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablsubadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
ablsubadd.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
ablpncan2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .+  Y
)  .-  X )  =  Y )

Proof of Theorem ablpncan2
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  G  e.  Abel )
2 simp2 989 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
3 simp3 990 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
4 ablsubadd.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 ablsubadd.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
6 ablsubadd.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
74, 5, 6abladdsub 16428 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( X  .+  Y )  .-  X )  =  ( ( X  .-  X
)  .+  Y )
)
81, 2, 3, 2, 7syl13anc 1221 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .+  Y
)  .-  X )  =  ( ( X 
.-  X )  .+  Y ) )
9 ablgrp 16406 . . . . 5  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
101, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
11 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
124, 11, 6grpsubid 15732 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .-  X
)  =  ( 0g
`  G ) )
1310, 2, 12syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  X )  =  ( 0g `  G
) )
1413oveq1d 6218 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .-  X
)  .+  Y )  =  ( ( 0g
`  G )  .+  Y ) )
154, 5, 11grplid 15690 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  Y
)  =  Y )
1610, 3, 15syl2anc 661 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  Y )  =  Y )
178, 14, 163eqtrd 2499 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .+  Y
)  .-  X )  =  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14295   +g cplusg 14360   0gc0g 14500   Grpcgrp 15532   -gcsg 15535   Abelcabel 16402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-0g 14502  df-mnd 15537  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-sbg 15669  df-cmn 16403  df-abl 16404
This theorem is referenced by:  lssvancl1  17152  lspprabs  17302  lsmcv  17348  ttgcontlem1  23303
  Copyright terms: Public domain W3C validator