Theorem ablpncan2 16429

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 2-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
ablsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
ablsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
ablpncan2	|- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .- X ) = Y )

Proof of Theorem ablpncan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 988	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> G e. Abel )
2		simp2 989	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
3		simp3 990	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
4		ablsubadd.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
5		ablsubadd.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
6		ablsubadd.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
7	4, 5, 6	abladdsub 16428	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- X ) = ( ( X .- X ) .+ Y ) )
8	1, 2, 3, 2, 7	syl13anc 1221	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .- X ) = ( ( X .- X ) .+ Y ) )
9		ablgrp 16406	. . . . 5 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
10	1, 9	syl 16	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> G e. Grp )
11		eqid 2454	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
12	4, 11, 6	grpsubid 15732	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .- X ) = ( 0g ` G ) )
13	10, 2, 12	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- X ) = ( 0g ` G ) )
14	13	oveq1d 6218	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .- X ) .+ Y ) = ( ( 0g ` G ) .+ Y ) )
15	4, 5, 11	grplid 15690	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ Y ) = Y )
16	10, 3, 15	syl2anc 661	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ Y ) = Y )
17	8, 14, 16	3eqtrd 2499	1 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .- X ) = Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14295   +g cplusg 14360   0gc0g 14500   Grpcgrp 15532   -gcsg 15535   Abelcabel 16402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-0g 14502  df-mnd 15537  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-sbg 15669  df-cmn 16403  df-abl 16404

This theorem is referenced by:  lssvancl1  17152  lspprabs  17302  lsmcv  17348  ttgcontlem1  23303