Theorem ablpncan2 17040

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 2-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
ablsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
ablsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
ablpncan2	|- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .- X ) = Y )

Proof of Theorem ablpncan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 995	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> G e. Abel )
2		simp2 996	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
3		simp3 997	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
4		ablsubadd.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
5		ablsubadd.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
6		ablsubadd.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
7	4, 5, 6	abladdsub 17039	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- X ) = ( ( X .- X ) .+ Y ) )
8	1, 2, 3, 2, 7	syl13anc 1230	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .- X ) = ( ( X .- X ) .+ Y ) )
9		ablgrp 17017	. . . . 5 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
10	1, 9	syl 17	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> G e. Grp )
11		eqid 2400	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
12	4, 11, 6	grpsubid 16336	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .- X ) = ( 0g ` G ) )
13	10, 2, 12	syl2anc 659	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- X ) = ( 0g ` G ) )
14	13	oveq1d 6247	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .- X ) .+ Y ) = ( ( 0g ` G ) .+ Y ) )
15	4, 5, 11	grplid 16294	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ Y ) = Y )
16	10, 3, 15	syl2anc 659	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ Y ) = Y )
17	8, 14, 16	3eqtrd 2445	1 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .- X ) = Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 972   = wceq 1403   e. wcel 1840   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   Basecbs 14731   +g cplusg 14799   0gc0g 14944   Grpcgrp 16267   -gcsg 16269   Abelcabl 17013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4735  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-0g 14946  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-grp 16271  df-minusg 16272  df-sbg 16273  df-cmn 17014  df-abl 17015

This theorem is referenced by:  lssvancl1  17801  lspprabs  17951  lsmcv  17997  ttgcontlem1  24487