MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablpncan2 Structured version   Unicode version

Theorem ablpncan2 17040
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 2-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsubadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablsubadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
ablsubadd.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
ablpncan2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .+  Y
)  .-  X )  =  Y )

Proof of Theorem ablpncan2
StepHypRef Expression
1 simp1 995 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  G  e.  Abel )
2 simp2 996 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
3 simp3 997 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
4 ablsubadd.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 ablsubadd.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
6 ablsubadd.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
74, 5, 6abladdsub 17039 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( X  .+  Y )  .-  X )  =  ( ( X  .-  X
)  .+  Y )
)
81, 2, 3, 2, 7syl13anc 1230 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .+  Y
)  .-  X )  =  ( ( X 
.-  X )  .+  Y ) )
9 ablgrp 17017 . . . . 5  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
101, 9syl 17 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
11 eqid 2400 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
124, 11, 6grpsubid 16336 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .-  X
)  =  ( 0g
`  G ) )
1310, 2, 12syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  X )  =  ( 0g `  G
) )
1413oveq1d 6247 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .-  X
)  .+  Y )  =  ( ( 0g
`  G )  .+  Y ) )
154, 5, 11grplid 16294 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  Y
)  =  Y )
1610, 3, 15syl2anc 659 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  Y )  =  Y )
178, 14, 163eqtrd 2445 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .+  Y
)  .-  X )  =  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 972    = wceq 1403    e. wcel 1840   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   Basecbs 14731   +g cplusg 14799   0gc0g 14944   Grpcgrp 16267   -gcsg 16269   Abelcabl 17013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4735  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-0g 14946  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-grp 16271  df-minusg 16272  df-sbg 16273  df-cmn 17014  df-abl 17015
This theorem is referenced by:  lssvancl1  17801  lspprabs  17951  lsmcv  17997  ttgcontlem1  24487
  Copyright terms: Public domain W3C validator