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Theorem ablomul 23977
Description: Nonzero complex number multiplication is an Abelian group operation. (Contributed by Steve Rodriguez, 12-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ablomul  |-  (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) )  e.  AbelOp

Proof of Theorem ablomul
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 9464 . . . 4  |-  CC  e.  _V
2 difexg 4538 . . . 4  |-  ( CC  e.  _V  ->  ( CC  \  { 0 } )  e.  _V )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  ( CC 
\  { 0 } )  e.  _V
4 mulnzcnopr 10083 . . 3  |-  (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) : ( ( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) --> ( CC  \  {
0 } )
5 ovres 6330 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) y )  =  ( x  x.  y ) )
6 eldifsn 4098 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
7 eldifsn 4098 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
8 mulcl 9467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
98ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  CC )
10 mulne0 10079 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( x  x.  y
)  =/=  0 )
119, 10jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( ( x  x.  y )  e.  CC  /\  ( x  x.  y
)  =/=  0 ) )
126, 7, 11syl2anb 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( x  x.  y )  e.  CC  /\  ( x  x.  y )  =/=  0 ) )
13 eldifsn 4098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  x.  y )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( x  x.  y )  e.  CC  /\  ( x  x.  y
)  =/=  0 ) )
1412, 13sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x  x.  y )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
155, 14eqeltrd 2539 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) y )  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
1615anim1i 568 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( x (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) y )  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) ) )
17163impa 1183 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) y )  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) ) )
18 ovres 6330 . . . . 5  |-  ( ( ( x (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) y )  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( x (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) y ) (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) z )  =  ( ( x (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) y )  x.  z ) )
1917, 18syl 16 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) y ) (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) z )  =  ( ( x (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) y )  x.  z ) )
2053adant3 1008 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( x
(  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) y )  =  ( x  x.  y
) )
2120oveq1d 6205 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) y )  x.  z )  =  ( ( x  x.  y
)  x.  z ) )
22 eldifi 3576 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  x  e.  CC )
23 eldifi 3576 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  y  e.  CC )
24 eldifi 3576 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  z  e.  CC )
25 mulass 9471 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( x  x.  y
)  x.  z )  =  ( x  x.  ( y  x.  z
) ) )
2622, 23, 24, 25syl3an 1261 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x  x.  y )  x.  z )  =  ( x  x.  (
y  x.  z ) ) )
27 ovres 6330 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( y (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) z )  =  ( y  x.  z ) )
2827eqcomd 2459 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( y  x.  z )  =  ( y (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) z ) )
29283adant1 1006 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( y  x.  z )  =  ( y (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) z ) )
3029oveq2d 6206 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( x  x.  ( y  x.  z
) )  =  ( x  x.  ( y (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) z ) ) )
314fovcl 6295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( y (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) z )  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
3227, 31eqeltrrd 2540 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( y  x.  z )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
33 ovres 6330 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( y  x.  z )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) ( y  x.  z ) )  =  ( x  x.  ( y  x.  z ) ) )
3433eqcomd 2459 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( y  x.  z )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x  x.  ( y  x.  z
) )  =  ( x (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) ( y  x.  z ) ) )
3532, 34sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) ) )  ->  ( x  x.  ( y  x.  z
) )  =  ( x (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) ( y  x.  z ) ) )
36353impb 1184 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( x  x.  ( y  x.  z
) )  =  ( x (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) ( y  x.  z ) ) )
3729oveq2d 6206 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( x
(  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) ( y  x.  z ) )  =  ( x (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( y (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) z ) ) )
3836, 30, 373eqtr3d 2500 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( x  x.  ( y (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) z ) )  =  ( x (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) ( y (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) z ) ) )
3926, 30, 383eqtrd 2496 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x  x.  y )  x.  z )  =  ( x (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( y (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) z ) ) )
4019, 21, 393eqtrd 2496 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) y ) (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) z )  =  ( x (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) ( y (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) z ) ) )
41 ax-1cn 9441 . . . 4  |-  1  e.  CC
42 ax-1ne0 9452 . . . 4  |-  1  =/=  0
43 eldifsn 4098 . . . 4  |-  ( 1  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( 1  e.  CC  /\  1  =/=  0 ) )
4441, 42, 43mpbir2an 911 . . 3  |-  1  e.  ( CC  \  {
0 } )
45 ovres 6330 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( 1 (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) x )  =  ( 1  x.  x ) )
4644, 45mpan 670 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1 (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) x )  =  ( 1  x.  x ) )
4722mulid2d 9505 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1  x.  x )  =  x )
4846, 47eqtrd 2492 . . 3  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1 (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) x )  =  x )
49 reccl 10102 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  x
)  e.  CC )
50 recne0 10108 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  x
)  =/=  0 )
5149, 50jca 532 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( ( 1  /  x )  e.  CC  /\  ( 1  /  x
)  =/=  0 ) )
526, 51sylbi 195 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( 1  /  x )  e.  CC  /\  ( 1  /  x )  =/=  0 ) )
53 eldifsn 4098 . . . 4  |-  ( ( 1  /  x )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( 1  /  x )  e.  CC  /\  ( 1  /  x
)  =/=  0 ) )
5452, 53sylibr 212 . . 3  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1  /  x )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
55 ovres 6330 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  /  x
)  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( 1  /  x ) (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) x )  =  ( ( 1  /  x )  x.  x ) )
5654, 55mpancom 669 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( 1  /  x ) (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) x )  =  ( ( 1  /  x )  x.  x ) )
57 recid2 10110 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( ( 1  /  x )  x.  x
)  =  1 )
586, 57sylbi 195 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( 1  /  x )  x.  x )  =  1 )
5956, 58eqtrd 2492 . . 3  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( 1  /  x ) (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) x )  =  1 )
603, 4, 40, 44, 48, 54, 59isgrpoi 23820 . 2  |-  (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) )  e.  GrpOp
614fdmi 5662 . 2  |-  dom  (  x.  |`  ( ( CC 
\  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) )  =  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) )
62 mulcom 9469 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  =  ( y  x.  x ) )
6322, 23, 62syl2an 477 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x  x.  y )  =  ( y  x.  x ) )
64 ovres 6330 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( y (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) x )  =  ( y  x.  x ) )
6564ancoms 453 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( y (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) x )  =  ( y  x.  x ) )
6663, 5, 653eqtr4d 2502 . 2  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) y )  =  ( y (  x.  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) x ) )
6760, 61, 66isabloi 23910 1  |-  (  x.  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) )  e.  AbelOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   _Vcvv 3068    \ cdif 3423   {csn 3975    X. cxp 4936    |` cres 4940  (class class class)co 6190   CCcc 9381   0cc0 9383   1c1 9384    x. cmul 9388    / cdiv 10094   AbelOpcablo 23903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-mulf 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-grpo 23813  df-ablo 23904
This theorem is referenced by:  mulid  23978
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