Theorem ablo4pnp 31637

Description: A commutative/associative law for Abelian groups. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
abl4pnp.1	|- X = ran G
abl4pnp.2	|- D = ( /g ` G )

Assertion

Ref	Expression
ablo4pnp	|- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( A G B ) D ( C G F ) ) = ( ( A D C ) G ( B D F ) ) )

Proof of Theorem ablo4pnp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 978	. . . . 5 |- ( ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) <-> ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ C e. X ) )
2		abl4pnp.1	. . . . . 6 |- X = ran G
3		abl4pnp.2	. . . . . 6 |- D = ( /g ` G )
4	2, 3	ablomuldiv 25718	. . . . 5 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A G B ) D C ) = ( ( A D C ) G B ) )
5	1, 4	sylan2br 476	. . . 4 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ C e. X ) ) -> ( ( A G B ) D C ) = ( ( A D C ) G B ) )
6	5	adantrrr 725	. . 3 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( A G B ) D C ) = ( ( A D C ) G B ) )
7	6	oveq1d 6295	. 2 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( ( A G B ) D C ) D F ) = ( ( ( A D C ) G B ) D F ) )
8		ablogrpo 25713	. . . . . . 7 |- ( G e. AbelOp -> G e. GrpOp )
9	2	grpocl 25629	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A G B ) e. X )
10	9	3expib 1202	. . . . . . 7 |- ( G e. GrpOp -> ( ( A e. X /\ B e. X ) -> ( A G B ) e. X ) )
11	8, 10	syl 17	. . . . . 6 |- ( G e. AbelOp -> ( ( A e. X /\ B e. X ) -> ( A G B ) e. X ) )
12	11	anim1d 564	. . . . 5 |- ( G e. AbelOp -> ( ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) -> ( ( A G B ) e. X /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) )
13		3anass 980	. . . . 5 |- ( ( ( A G B ) e. X /\ C e. X /\ F e. X ) <-> ( ( A G B ) e. X /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) )
14	12, 13	syl6ibr 229	. . . 4 |- ( G e. AbelOp -> ( ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) -> ( ( A G B ) e. X /\ C e. X /\ F e. X ) ) )
15	14	imp 429	. . 3 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( A G B ) e. X /\ C e. X /\ F e. X ) )
16	2, 3	ablodivdiv4 25720	. . 3 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A G B ) e. X /\ C e. X /\ F e. X ) ) -> ( ( ( A G B ) D C ) D F ) = ( ( A G B ) D ( C G F ) ) )
17	15, 16	syldan 470	. 2 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( ( A G B ) D C ) D F ) = ( ( A G B ) D ( C G F ) ) )
18	2, 3	grpodivcl 25676	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ C e. X ) -> ( A D C ) e. X )
19	18	3expib 1202	. . . . . . 7 |- ( G e. GrpOp -> ( ( A e. X /\ C e. X ) -> ( A D C ) e. X ) )
20	19	anim1d 564	. . . . . 6 |- ( G e. GrpOp -> ( ( ( A e. X /\ C e. X ) /\ ( B e. X /\ F e. X ) ) -> ( ( A D C ) e. X /\ ( B e. X /\ F e. X ) ) ) )
21		an4 827	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) <-> ( ( A e. X /\ C e. X ) /\ ( B e. X /\ F e. X ) ) )
22		3anass 980	. . . . . 6 |- ( ( ( A D C ) e. X /\ B e. X /\ F e. X ) <-> ( ( A D C ) e. X /\ ( B e. X /\ F e. X ) ) )
23	20, 21, 22	3imtr4g 272	. . . . 5 |- ( G e. GrpOp -> ( ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) -> ( ( A D C ) e. X /\ B e. X /\ F e. X ) ) )
24	23	imp 429	. . . 4 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( A D C ) e. X /\ B e. X /\ F e. X ) )
25	2, 3	grpomuldivass 25678	. . . 4 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( ( A D C ) e. X /\ B e. X /\ F e. X ) ) -> ( ( ( A D C ) G B ) D F ) = ( ( A D C ) G ( B D F ) ) )
26	24, 25	syldan 470	. . 3 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( ( A D C ) G B ) D F ) = ( ( A D C ) G ( B D F ) ) )
27	8, 26	sylan 471	. 2 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( ( A D C ) G B ) D F ) = ( ( A D C ) G ( B D F ) ) )
28	7, 17, 27	3eqtr3d 2453	1 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( A G B ) D ( C G F ) ) = ( ( A D C ) G ( B D F ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 976   = wceq 1407   e. wcel 1844   ran crn 4826   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   GrpOpcgr 25615   /g cgs 25618   AbelOpcablo 25710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-grpo 25620  df-gid 25621  df-ginv 25622  df-gdiv 25623  df-ablo 25711

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