Theorem ablo4pnp 28589

Description: A commutative/associative law for Abelian groups. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
abl4pnp.1	|- X = ran G
abl4pnp.2	|- D = ( /g ` G )

Assertion

Ref	Expression
ablo4pnp	|- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( A G B ) D ( C G F ) ) = ( ( A D C ) G ( B D F ) ) )

Proof of Theorem ablo4pnp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 960	. . . . 5 |- ( ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) <-> ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ C e. X ) )
2		abl4pnp.1	. . . . . 6 |- X = ran G
3		abl4pnp.2	. . . . . 6 |- D = ( /g ` G )
4	2, 3	ablomuldiv 23599	. . . . 5 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A G B ) D C ) = ( ( A D C ) G B ) )
5	1, 4	sylan2br 473	. . . 4 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ C e. X ) ) -> ( ( A G B ) D C ) = ( ( A D C ) G B ) )
6	5	adantrrr 717	. . 3 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( A G B ) D C ) = ( ( A D C ) G B ) )
7	6	oveq1d 6095	. 2 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( ( A G B ) D C ) D F ) = ( ( ( A D C ) G B ) D F ) )
8		ablogrpo 23594	. . . . . . 7 |- ( G e. AbelOp -> G e. GrpOp )
9	2	grpocl 23510	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A G B ) e. X )
10	9	3expib 1183	. . . . . . 7 |- ( G e. GrpOp -> ( ( A e. X /\ B e. X ) -> ( A G B ) e. X ) )
11	8, 10	syl 16	. . . . . 6 |- ( G e. AbelOp -> ( ( A e. X /\ B e. X ) -> ( A G B ) e. X ) )
12	11	anim1d 559	. . . . 5 |- ( G e. AbelOp -> ( ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) -> ( ( A G B ) e. X /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) )
13		3anass 962	. . . . 5 |- ( ( ( A G B ) e. X /\ C e. X /\ F e. X ) <-> ( ( A G B ) e. X /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) )
14	12, 13	syl6ibr 227	. . . 4 |- ( G e. AbelOp -> ( ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) -> ( ( A G B ) e. X /\ C e. X /\ F e. X ) ) )
15	14	imp 429	. . 3 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( A G B ) e. X /\ C e. X /\ F e. X ) )
16	2, 3	ablodivdiv4 23601	. . 3 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A G B ) e. X /\ C e. X /\ F e. X ) ) -> ( ( ( A G B ) D C ) D F ) = ( ( A G B ) D ( C G F ) ) )
17	15, 16	syldan 467	. 2 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( ( A G B ) D C ) D F ) = ( ( A G B ) D ( C G F ) ) )
18	2, 3	grpodivcl 23557	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ C e. X ) -> ( A D C ) e. X )
19	18	3expib 1183	. . . . . . 7 |- ( G e. GrpOp -> ( ( A e. X /\ C e. X ) -> ( A D C ) e. X ) )
20	19	anim1d 559	. . . . . 6 |- ( G e. GrpOp -> ( ( ( A e. X /\ C e. X ) /\ ( B e. X /\ F e. X ) ) -> ( ( A D C ) e. X /\ ( B e. X /\ F e. X ) ) ) )
21		an4 813	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) <-> ( ( A e. X /\ C e. X ) /\ ( B e. X /\ F e. X ) ) )
22		3anass 962	. . . . . 6 |- ( ( ( A D C ) e. X /\ B e. X /\ F e. X ) <-> ( ( A D C ) e. X /\ ( B e. X /\ F e. X ) ) )
23	20, 21, 22	3imtr4g 270	. . . . 5 |- ( G e. GrpOp -> ( ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) -> ( ( A D C ) e. X /\ B e. X /\ F e. X ) ) )
24	23	imp 429	. . . 4 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( A D C ) e. X /\ B e. X /\ F e. X ) )
25	2, 3	grpomuldivass 23559	. . . 4 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( ( A D C ) e. X /\ B e. X /\ F e. X ) ) -> ( ( ( A D C ) G B ) D F ) = ( ( A D C ) G ( B D F ) ) )
26	24, 25	syldan 467	. . 3 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( ( A D C ) G B ) D F ) = ( ( A D C ) G ( B D F ) ) )
27	8, 26	sylan 468	. 2 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( ( A D C ) G B ) D F ) = ( ( A D C ) G ( B D F ) ) )
28	7, 17, 27	3eqtr3d 2473	1 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( A G B ) D ( C G F ) ) = ( ( A D C ) G ( B D F ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 958   = wceq 1362   e. wcel 1755   ran crn 4828   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   GrpOpcgr 23496   /g cgs 23499   AbelOpcablo 23591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-grpo 23501  df-gid 23502  df-ginv 23503  df-gdiv 23504  df-ablo 23592

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