Theorem ablo4pnp 32171

Description: A commutative/associative law for Abelian groups. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
abl4pnp.1	|- X = ran G
abl4pnp.2	|- D = ( /g ` G )

Assertion

Ref	Expression
ablo4pnp	|- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( A G B ) D ( C G F ) ) = ( ( A D C ) G ( B D F ) ) )

Proof of Theorem ablo4pnp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 986	. . . . 5 |- ( ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) <-> ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ C e. X ) )
2		abl4pnp.1	. . . . . 6 |- X = ran G
3		abl4pnp.2	. . . . . 6 |- D = ( /g ` G )
4	2, 3	ablomuldiv 26010	. . . . 5 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A G B ) D C ) = ( ( A D C ) G B ) )
5	1, 4	sylan2br 479	. . . 4 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ C e. X ) ) -> ( ( A G B ) D C ) = ( ( A D C ) G B ) )
6	5	adantrrr 730	. . 3 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( A G B ) D C ) = ( ( A D C ) G B ) )
7	6	oveq1d 6303	. 2 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( ( A G B ) D C ) D F ) = ( ( ( A D C ) G B ) D F ) )
8		ablogrpo 26005	. . . . . . 7 |- ( G e. AbelOp -> G e. GrpOp )
9	2	grpocl 25921	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A G B ) e. X )
10	9	3expib 1210	. . . . . . 7 |- ( G e. GrpOp -> ( ( A e. X /\ B e. X ) -> ( A G B ) e. X ) )
11	8, 10	syl 17	. . . . . 6 |- ( G e. AbelOp -> ( ( A e. X /\ B e. X ) -> ( A G B ) e. X ) )
12	11	anim1d 567	. . . . 5 |- ( G e. AbelOp -> ( ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) -> ( ( A G B ) e. X /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) )
13		3anass 988	. . . . 5 |- ( ( ( A G B ) e. X /\ C e. X /\ F e. X ) <-> ( ( A G B ) e. X /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) )
14	12, 13	syl6ibr 231	. . . 4 |- ( G e. AbelOp -> ( ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) -> ( ( A G B ) e. X /\ C e. X /\ F e. X ) ) )
15	14	imp 431	. . 3 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( A G B ) e. X /\ C e. X /\ F e. X ) )
16	2, 3	ablodivdiv4 26012	. . 3 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A G B ) e. X /\ C e. X /\ F e. X ) ) -> ( ( ( A G B ) D C ) D F ) = ( ( A G B ) D ( C G F ) ) )
17	15, 16	syldan 473	. 2 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( ( A G B ) D C ) D F ) = ( ( A G B ) D ( C G F ) ) )
18	2, 3	grpodivcl 25968	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ C e. X ) -> ( A D C ) e. X )
19	18	3expib 1210	. . . . . . 7 |- ( G e. GrpOp -> ( ( A e. X /\ C e. X ) -> ( A D C ) e. X ) )
20	19	anim1d 567	. . . . . 6 |- ( G e. GrpOp -> ( ( ( A e. X /\ C e. X ) /\ ( B e. X /\ F e. X ) ) -> ( ( A D C ) e. X /\ ( B e. X /\ F e. X ) ) ) )
21		an4 832	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) <-> ( ( A e. X /\ C e. X ) /\ ( B e. X /\ F e. X ) ) )
22		3anass 988	. . . . . 6 |- ( ( ( A D C ) e. X /\ B e. X /\ F e. X ) <-> ( ( A D C ) e. X /\ ( B e. X /\ F e. X ) ) )
23	20, 21, 22	3imtr4g 274	. . . . 5 |- ( G e. GrpOp -> ( ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) -> ( ( A D C ) e. X /\ B e. X /\ F e. X ) ) )
24	23	imp 431	. . . 4 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( A D C ) e. X /\ B e. X /\ F e. X ) )
25	2, 3	grpomuldivass 25970	. . . 4 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( ( A D C ) e. X /\ B e. X /\ F e. X ) ) -> ( ( ( A D C ) G B ) D F ) = ( ( A D C ) G ( B D F ) ) )
26	24, 25	syldan 473	. . 3 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( ( A D C ) G B ) D F ) = ( ( A D C ) G ( B D F ) ) )
27	8, 26	sylan 474	. 2 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( ( A D C ) G B ) D F ) = ( ( A D C ) G ( B D F ) ) )
28	7, 17, 27	3eqtr3d 2492	1 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( A G B ) D ( C G F ) ) = ( ( A D C ) G ( B D F ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   ran crn 4834   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   GrpOpcgr 25907   /g cgs 25910   AbelOpcablo 26002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-grpo 25912  df-gid 25913  df-ginv 25914  df-gdiv 25915  df-ablo 26003

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