Theorem ablo4pnp 29945

Description: A commutative/associative law for Abelian groups. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
abl4pnp.1	|- X = ran G
abl4pnp.2	|- D = ( /g ` G )

Assertion

Ref	Expression
ablo4pnp	|- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( A G B ) D ( C G F ) ) = ( ( A D C ) G ( B D F ) ) )

Proof of Theorem ablo4pnp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 975	. . . . 5 |- ( ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) <-> ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ C e. X ) )
2		abl4pnp.1	. . . . . 6 |- X = ran G
3		abl4pnp.2	. . . . . 6 |- D = ( /g ` G )
4	2, 3	ablomuldiv 24967	. . . . 5 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A G B ) D C ) = ( ( A D C ) G B ) )
5	1, 4	sylan2br 476	. . . 4 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ C e. X ) ) -> ( ( A G B ) D C ) = ( ( A D C ) G B ) )
6	5	adantrrr 724	. . 3 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( A G B ) D C ) = ( ( A D C ) G B ) )
7	6	oveq1d 6297	. 2 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( ( A G B ) D C ) D F ) = ( ( ( A D C ) G B ) D F ) )
8		ablogrpo 24962	. . . . . . 7 |- ( G e. AbelOp -> G e. GrpOp )
9	2	grpocl 24878	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A G B ) e. X )
10	9	3expib 1199	. . . . . . 7 |- ( G e. GrpOp -> ( ( A e. X /\ B e. X ) -> ( A G B ) e. X ) )
11	8, 10	syl 16	. . . . . 6 |- ( G e. AbelOp -> ( ( A e. X /\ B e. X ) -> ( A G B ) e. X ) )
12	11	anim1d 564	. . . . 5 |- ( G e. AbelOp -> ( ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) -> ( ( A G B ) e. X /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) )
13		3anass 977	. . . . 5 |- ( ( ( A G B ) e. X /\ C e. X /\ F e. X ) <-> ( ( A G B ) e. X /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) )
14	12, 13	syl6ibr 227	. . . 4 |- ( G e. AbelOp -> ( ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) -> ( ( A G B ) e. X /\ C e. X /\ F e. X ) ) )
15	14	imp 429	. . 3 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( A G B ) e. X /\ C e. X /\ F e. X ) )
16	2, 3	ablodivdiv4 24969	. . 3 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A G B ) e. X /\ C e. X /\ F e. X ) ) -> ( ( ( A G B ) D C ) D F ) = ( ( A G B ) D ( C G F ) ) )
17	15, 16	syldan 470	. 2 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( ( A G B ) D C ) D F ) = ( ( A G B ) D ( C G F ) ) )
18	2, 3	grpodivcl 24925	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ C e. X ) -> ( A D C ) e. X )
19	18	3expib 1199	. . . . . . 7 |- ( G e. GrpOp -> ( ( A e. X /\ C e. X ) -> ( A D C ) e. X ) )
20	19	anim1d 564	. . . . . 6 |- ( G e. GrpOp -> ( ( ( A e. X /\ C e. X ) /\ ( B e. X /\ F e. X ) ) -> ( ( A D C ) e. X /\ ( B e. X /\ F e. X ) ) ) )
21		an4 822	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) <-> ( ( A e. X /\ C e. X ) /\ ( B e. X /\ F e. X ) ) )
22		3anass 977	. . . . . 6 |- ( ( ( A D C ) e. X /\ B e. X /\ F e. X ) <-> ( ( A D C ) e. X /\ ( B e. X /\ F e. X ) ) )
23	20, 21, 22	3imtr4g 270	. . . . 5 |- ( G e. GrpOp -> ( ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) -> ( ( A D C ) e. X /\ B e. X /\ F e. X ) ) )
24	23	imp 429	. . . 4 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( A D C ) e. X /\ B e. X /\ F e. X ) )
25	2, 3	grpomuldivass 24927	. . . 4 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( ( A D C ) e. X /\ B e. X /\ F e. X ) ) -> ( ( ( A D C ) G B ) D F ) = ( ( A D C ) G ( B D F ) ) )
26	24, 25	syldan 470	. . 3 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( ( A D C ) G B ) D F ) = ( ( A D C ) G ( B D F ) ) )
27	8, 26	sylan 471	. 2 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( ( A D C ) G B ) D F ) = ( ( A D C ) G ( B D F ) ) )
28	7, 17, 27	3eqtr3d 2516	1 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( A G B ) D ( C G F ) ) = ( ( A D C ) G ( B D F ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   ran crn 5000   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   GrpOpcgr 24864   /g cgs 24867   AbelOpcablo 24959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-grpo 24869  df-gid 24870  df-ginv 24871  df-gdiv 24872  df-ablo 24960

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