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Theorem ablo4 25860
Description: Commutative/associative law for Abelian groups. (Contributed by NM, 26-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ablcom.1  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
ablo4  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X
) )  ->  (
( A G B ) G ( C G D ) )  =  ( ( A G C ) G ( B G D ) ) )

Proof of Theorem ablo4
StepHypRef Expression
1 simprll 770 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  A  e.  X
)
2 simprlr 771 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  B  e.  X
)
3 simprrl 772 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  C  e.  X
)
41, 2, 33jca 1185 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )
5 ablcom.1 . . . . . 6  |-  X  =  ran  G
65ablo32 25859 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A G B ) G C )  =  ( ( A G C ) G B ) )
74, 6syldan 472 . . . 4  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  ( ( A G B ) G C )  =  ( ( A G C ) G B ) )
87oveq1d 6320 . . 3  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  ( ( ( A G B ) G C ) G D )  =  ( ( ( A G C ) G B ) G D ) )
9 ablogrpo 25857 . . . 4  |-  ( G  e.  AbelOp  ->  G  e.  GrpOp )
105grpocl 25773 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G B )  e.  X )
11103expb 1206 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A G B )  e.  X
)
1211adantrr 721 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  ( A G B )  e.  X
)
13 simprrl 772 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  C  e.  X
)
14 simprrr 773 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  D  e.  X
)
1512, 13, 143jca 1185 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  ( ( A G B )  e.  X  /\  C  e.  X  /\  D  e.  X ) )
165grpoass 25776 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( A G B )  e.  X  /\  C  e.  X  /\  D  e.  X )
)  ->  ( (
( A G B ) G C ) G D )  =  ( ( A G B ) G ( C G D ) ) )
1715, 16syldan 472 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  ( ( ( A G B ) G C ) G D )  =  ( ( A G B ) G ( C G D ) ) )
189, 17sylan 473 . . 3  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  ( ( ( A G B ) G C ) G D )  =  ( ( A G B ) G ( C G D ) ) )
195grpocl 25773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( A G C )  e.  X )
20193expb 1206 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A G C )  e.  X
)
2120adantrlr 727 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  C  e.  X ) )  -> 
( A G C )  e.  X )
2221adantrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  ( A G C )  e.  X
)
23 simprlr 771 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  B  e.  X
)
2422, 23, 143jca 1185 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  ( ( A G C )  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X ) )
255grpoass 25776 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( A G C )  e.  X  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X )
)  ->  ( (
( A G C ) G B ) G D )  =  ( ( A G C ) G ( B G D ) ) )
2624, 25syldan 472 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  ( ( ( A G C ) G B ) G D )  =  ( ( A G C ) G ( B G D ) ) )
279, 26sylan 473 . . 3  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  ( ( ( A G C ) G B ) G D )  =  ( ( A G C ) G ( B G D ) ) )
288, 18, 273eqtr3d 2478 . 2  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  ( ( A G B ) G ( C G D ) )  =  ( ( A G C ) G ( B G D ) ) )
29283impb 1201 1  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X
) )  ->  (
( A G B ) G ( C G D ) )  =  ( ( A G C ) G ( B G D ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   ran crn 4855  (class class class)co 6305   GrpOpcgr 25759   AbelOpcablo 25854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fo 5607  df-fv 5609  df-ov 6308  df-grpo 25764  df-ablo 25855
This theorem is referenced by:  gxdi  25869  rngoa4  25968  vca4  26027  nvadd4  26091  ipdirilem  26315
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