Theorem ablmul 9439

Description: Nonzero complex number multiplication is an Abelian group operation. (Contributed by Steve Rodriguez, 12-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ablmul	|- ( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0}))) e. Abel

Proof of Theorem ablmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axcnex 6419	. . . 4 |- CC e. _V
2		difexg 3458	. . . 4 |- (CC e. _V -> (CC \ {0}) e. _V)
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- (CC \ {0}) e. _V
4		mulnzcnopr 6891	. . 3 |- ( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0}))):((CC \ {0}) X. (CC \ {0}))-->(CC \ {0})
5		oprvres 4963	. . . . . . . . 9 |- ((x e. (CC \ {0}) /\ y e. (CC \ {0})) -> (x( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))y) = (x x. y))
6		mulcl 6456	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (x x. y) e. CC)
7	6	ad2ant2r 445	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. CC /\ x =/= 0) /\ (y e. CC /\ y =/= 0)) -> (x x. y) e. CC)
8		mulne0 6887	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. CC /\ x =/= 0) /\ (y e. CC /\ y =/= 0)) -> (x x. y) =/= 0)
9	7, 8	jca 310	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. CC /\ x =/= 0) /\ (y e. CC /\ y =/= 0)) -> ((x x. y) e. CC /\ (x x. y) =/= 0))
10		eldifsn 3123	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. (CC \ {0}) <-> (x e. CC /\ x =/= 0))
11		eldifsn 3123	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. (CC \ {0}) <-> (y e. CC /\ y =/= 0))
12	9, 10, 11	syl2anb 504	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. (CC \ {0}) /\ y e. (CC \ {0})) -> ((x x. y) e. CC /\ (x x. y) =/= 0))
13		eldifsn 3123	. . . . . . . . . 10 |- ((x x. y) e. (CC \ {0}) <-> ((x x. y) e. CC /\ (x x. y) =/= 0))
14	12, 13	sylibr 217	. . . . . . . . 9 |- ((x e. (CC \ {0}) /\ y e. (CC \ {0})) -> (x x. y) e. (CC \ {0}))
15	5, 14	eqeltrd 1971	. . . . . . . 8 |- ((x e. (CC \ {0}) /\ y e. (CC \ {0})) -> (x( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))y) e. (CC \ {0}))
16	15	anim1i 361	. . . . . . 7 |- (((x e. (CC \ {0}) /\ y e. (CC \ {0})) /\ z e. (CC \ {0})) -> ((x( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))y) e. (CC \ {0}) /\ z e. (CC \ {0})))
17	16	3impa 1062	. . . . . 6 |- ((x e. (CC \ {0}) /\ y e. (CC \ {0}) /\ z e. (CC \ {0})) -> ((x( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))y) e. (CC \ {0}) /\ z e. (CC \ {0})))
18		oprvres 4963	. . . . . 6 |- (((x( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))y) e. (CC \ {0}) /\ z e. (CC \ {0})) -> ((x( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))y)( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))z) = ((x( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))y) x. z))
19	17, 18	syl 12	. . . . 5 |- ((x e. (CC \ {0}) /\ y e. (CC \ {0}) /\ z e. (CC \ {0})) -> ((x( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))y)( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))z) = ((x( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))y) x. z))
20	5	3adant3 896	. . . . . 6 |- ((x e. (CC \ {0}) /\ y e. (CC \ {0}) /\ z e. (CC \ {0})) -> (x( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))y) = (x x. y))
21	20	opreq1d 4897	. . . . 5 |- ((x e. (CC \ {0}) /\ y e. (CC \ {0}) /\ z e. (CC \ {0})) -> ((x( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))y) x. z) = ((x x. y) x. z))
22	19, 21	eqtrd 1925	. . . 4 |- ((x e. (CC \ {0}) /\ y e. (CC \ {0}) /\ z e. (CC \ {0})) -> ((x( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))y)( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))z) = ((x x. y) x. z))
23		mulass 6461	. . . . 5 |- ((x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC) -> ((x x. y) x. z) = (x x. (y x. z)))
24		eldifi 2730	. . . . 5 |- (x e. (CC \ {0}) -> x e. CC)
25		eldifi 2730	. . . . 5 |- (y e. (CC \ {0}) -> y e. CC)
26		eldifi 2730	. . . . 5 |- (z e. (CC \ {0}) -> z e. CC)
27	23, 24, 25, 26	syl3an 1139	. . . 4 |- ((x e. (CC \ {0}) /\ y e. (CC \ {0}) /\ z e. (CC \ {0})) -> ((x x. y) x. z) = (x x. (y x. z)))
28		oprvres 4963	. . . . . . . 8 |- ((y e. (CC \ {0}) /\ z e. (CC \ {0})) -> (y( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))z) = (y x. z))
29	28	eqcomd 1889	. . . . . . 7 |- ((y e. (CC \ {0}) /\ z e. (CC \ {0})) -> (y x. z) = (y( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))z))
30	29	3adant1 894	. . . . . 6 |- ((x e. (CC \ {0}) /\ y e. (CC \ {0}) /\ z e. (CC \ {0})) -> (y x. z) = (y( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))z))
31	30	opreq2d 4898	. . . . 5 |- ((x e. (CC \ {0}) /\ y e. (CC \ {0}) /\ z e. (CC \ {0})) -> (x x. (y x. z)) = (x x. (y( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))z)))
32		oprvres 4963	. . . . . . . . 9 |- ((x e. (CC \ {0}) /\ (y x. z) e. (CC \ {0})) -> (x( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))(y x. z)) = (x x. (y x. z)))
33	32	eqcomd 1889	. . . . . . . 8 |- ((x e. (CC \ {0}) /\ (y x. z) e. (CC \ {0})) -> (x x. (y x. z)) = (x( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))(y x. z)))
34	4	foprcl 4944	. . . . . . . . 9 |- ((y e. (CC \ {0}) /\ z e. (CC \ {0})) -> (y( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))z) e. (CC \ {0}))
35	28, 34	eqeltrrd 1972	. . . . . . . 8 |- ((y e. (CC \ {0}) /\ z e. (CC \ {0})) -> (y x. z) e. (CC \ {0}))
36	33, 35	sylan2 500	. . . . . . 7 |- ((x e. (CC \ {0}) /\ (y e. (CC \ {0}) /\ z e. (CC \ {0}))) -> (x x. (y x. z)) = (x( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))(y x. z)))
37	36	3impb 1063	. . . . . 6 |- ((x e. (CC \ {0}) /\ y e. (CC \ {0}) /\ z e. (CC \ {0})) -> (x x. (y x. z)) = (x( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))(y x. z)))
38	30	opreq2d 4898	. . . . . 6 |- ((x e. (CC \ {0}) /\ y e. (CC \ {0}) /\ z e. (CC \ {0})) -> (x( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))(y x. z)) = (x( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))(y( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))z)))
39	37, 31, 38	3eqtr3d 1934	. . . . 5 |- ((x e. (CC \ {0}) /\ y e. (CC \ {0}) /\ z e. (CC \ {0})) -> (x x. (y( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))z)) = (x( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))(y( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))z)))
40	31, 39	eqtrd 1925	. . . 4 |- ((x e. (CC \ {0}) /\ y e. (CC \ {0}) /\ z e. (CC \ {0})) -> (x x. (y x. z)) = (x( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))(y( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))z)))
41	22, 27, 40	3eqtrd 1929	. . 3 |- ((x e. (CC \ {0}) /\ y e. (CC \ {0}) /\ z e. (CC \ {0})) -> ((x( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))y)( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))z) = (x( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))(y( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))z)))
42		eldifsn 3123	. . . 4 |- (1 e. (CC \ {0}) <-> (1 e. CC /\ 1 =/= 0))
43		ax1cn 6422	. . . 4 |- 1 e. CC
44		ax1ne0 6433	. . . 4 |- 1 =/= 0
45	42, 43, 44	mpbir2an 800	. . 3 |- 1 e. (CC \ {0})
46		oprvres 4963	. . . . 5 |- ((1 e. (CC \ {0}) /\ x e. (CC \ {0})) -> (1( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))x) = (1 x. x))
47	45, 46	mpan 759	. . . 4 |- (x e. (CC \ {0}) -> (1( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))x) = (1 x. x))
48		mulid2 6578	. . . . 5 |- (x e. CC -> (1 x. x) = x)
49	24, 48	syl 12	. . . 4 |- (x e. (CC \ {0}) -> (1 x. x) = x)
50	47, 49	eqtrd 1925	. . 3 |- (x e. (CC \ {0}) -> (1( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))x) = x)
51		reccl 6904	. . . . 5 |- ((x e. CC /\ x =/= 0) -> (1 / x) e. CC)
52		recne0 6915	. . . . 5 |- ((x e. CC /\ x =/= 0) -> (1 / x) =/= 0)
53	51, 52	jca 310	. . . 4 |- ((x e. CC /\ x =/= 0) -> ((1 / x) e. CC /\ (1 / x) =/= 0))
54		eldifsn 3123	. . . 4 |- ((1 / x) e. (CC \ {0}) <-> ((1 / x) e. CC /\ (1 / x) =/= 0))
55	53, 10, 54	3imtr4i 236	. . 3 |- (x e. (CC \ {0}) -> (1 / x) e. (CC \ {0}))
56		oprvres 4963	. . . . 5 |- (((1 / x) e. (CC \ {0}) /\ x e. (CC \ {0})) -> ((1 / x)( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))x) = ((1 / x) x. x))
57	55, 56	mpancom 769	. . . 4 |- (x e. (CC \ {0}) -> ((1 / x)( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))x) = ((1 / x) x. x))
58		recid2 6919	. . . . 5 |- ((x e. CC /\ x =/= 0) -> ((1 / x) x. x) = 1)
59	10, 58	sylbi 216	. . . 4 |- (x e. (CC \ {0}) -> ((1 / x) x. x) = 1)
60	57, 59	eqtrd 1925	. . 3 |- (x e. (CC \ {0}) -> ((1 / x)( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))x) = 1)
61	3, 4, 41, 45, 50, 55, 60	isgrpi 9322	. 2 |- ( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0}))) e. Grp
62	4	fdmi 4568	. 2 |- dom ( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0}))) = ((CC \ {0}) X. (CC \ {0}))
63		mulcom 6459	. . . 4 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (x x. y) = (y x. x))
64	63, 24, 25	syl2an 503	. . 3 |- ((x e. (CC \ {0}) /\ y e. (CC \ {0})) -> (x x. y) = (y x. x))
65		oprvres 4963	. . . 4 |- ((y e. (CC \ {0}) /\ x e. (CC \ {0})) -> (y( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))x) = (y x. x))
66	65	ancoms 484	. . 3 |- ((x e. (CC \ {0}) /\ y e. (CC \ {0})) -> (y( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))x) = (y x. x))
67	64, 5, 66	3eqtr4d 1937	. 2 |- ((x e. (CC \ {0}) /\ y e. (CC \ {0})) -> (x( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))y) = (y( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0})))x))
68	61, 62, 67	isabli 9414	1 |- ( x. |` ((CC \ {0}) X. (CC \ {0}))) e. Abel

Syntax hints:   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  _Vcvv 2292   \ cdif 2590  {csn 3044   X. cxp 3984   |` cres 3988  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386  1c1 6387   x. cmul 6391   / cdiv 6447  Abelcabl 9407

This theorem is referenced by:  mulid 9440

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-grp 9316  df-abl 9408

Copyright terms: Public domain