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Theorem abliso 26171
Description: The image of an Abelian group by a group isomorphism is also Abelian. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
abliso  |-  ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  ->  N  e.  Abel )

Proof of Theorem abliso
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gimghm 15804 . . . 4  |-  ( F  e.  ( M GrpIso  N
)  ->  F  e.  ( M  GrpHom  N ) )
2 ghmgrp2 15762 . . . 4  |-  ( F  e.  ( M  GrpHom  N )  ->  N  e.  Grp )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  ( M GrpIso  N
)  ->  N  e.  Grp )
43adantl 466 . 2  |-  ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  ->  N  e.  Grp )
5 grpmnd 15562 . . . 4  |-  ( N  e.  Grp  ->  N  e.  Mnd )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  ->  N  e.  Mnd )
7 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  M  e.  Abel )
8 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
9 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  N )  =  (
Base `  N )
108, 9gimf1o 15803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( M GrpIso  N
)  ->  F :
( Base `  M ) -1-1-onto-> ( Base `  N ) )
11 f1ocnv 5665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : ( Base `  M
)
-1-1-onto-> ( Base `  N )  ->  `' F : ( Base `  N ) -1-1-onto-> ( Base `  M
) )
12 f1of 5653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F : ( Base `  N ) -1-1-onto-> ( Base `  M
)  ->  `' F : ( Base `  N
) --> ( Base `  M
) )
1310, 11, 123syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( M GrpIso  N
)  ->  `' F : ( Base `  N
) --> ( Base `  M
) )
1413ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  `' F :
( Base `  N ) --> ( Base `  M )
)
15 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  x  e.  (
Base `  N )
)
1614, 15ffvelrnd 5856 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( `' F `  x )  e.  (
Base `  M )
)
17 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  y  e.  (
Base `  N )
)
1814, 17ffvelrnd 5856 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( `' F `  y )  e.  (
Base `  M )
)
19 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
208, 19ablcom 16306 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  Abel  /\  ( `' F `  x )  e.  ( Base `  M
)  /\  ( `' F `  y )  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
( `' F `  x ) ( +g  `  M ) ( `' F `  y ) )  =  ( ( `' F `  y ) ( +g  `  M
) ( `' F `  x ) ) )
217, 16, 18, 20syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  M
) ( `' F `  y ) )  =  ( ( `' F `  y ) ( +g  `  M ) ( `' F `  x ) ) )
22 gimcnv 15807 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( M GrpIso  N
)  ->  `' F  e.  ( N GrpIso  M ) )
2322ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  `' F  e.  ( N GrpIso  M ) )
24 gimghm 15804 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F  e.  ( N GrpIso  M )  ->  `' F  e.  ( N  GrpHom  M ) )
2523, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  `' F  e.  ( N  GrpHom  M ) )
26 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  N )  =  ( +g  `  N )
279, 26, 19ghmlin 15764 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F  e.  ( N  GrpHom  M )  /\  x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N
) )  ->  ( `' F `  ( x ( +g  `  N
) y ) )  =  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  M
) ( `' F `  y ) ) )
2825, 15, 17, 27syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( `' F `  ( x ( +g  `  N ) y ) )  =  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  M
) ( `' F `  y ) ) )
299, 26, 19ghmlin 15764 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F  e.  ( N  GrpHom  M )  /\  y  e.  ( Base `  N )  /\  x  e.  ( Base `  N
) )  ->  ( `' F `  ( y ( +g  `  N
) x ) )  =  ( ( `' F `  y ) ( +g  `  M
) ( `' F `  x ) ) )
3025, 17, 15, 29syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( `' F `  ( y ( +g  `  N ) x ) )  =  ( ( `' F `  y ) ( +g  `  M
) ( `' F `  x ) ) )
3121, 28, 303eqtr4d 2485 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( `' F `  ( x ( +g  `  N ) y ) )  =  ( `' F `  ( y ( +g  `  N
) x ) ) )
3231fveq2d 5707 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  ( x ( +g  `  N
) y ) ) )  =  ( F `
 ( `' F `  ( y ( +g  `  N ) x ) ) ) )
3310ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  F : (
Base `  M ) -1-1-onto-> ( Base `  N ) )
344adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  N  e.  Grp )
359, 26grpcl 15563 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N
) )  ->  (
x ( +g  `  N
) y )  e.  ( Base `  N
) )
3634, 15, 17, 35syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( x ( +g  `  N ) y )  e.  (
Base `  N )
)
37 f1ocnvfv2 5996 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( Base `  M ) -1-1-onto-> ( Base `  N
)  /\  ( x
( +g  `  N ) y )  e.  (
Base `  N )
)  ->  ( F `  ( `' F `  ( x ( +g  `  N ) y ) ) )  =  ( x ( +g  `  N
) y ) )
3833, 36, 37syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  ( x ( +g  `  N
) y ) ) )  =  ( x ( +g  `  N
) y ) )
399, 26grpcl 15563 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Grp  /\  y  e.  ( Base `  N )  /\  x  e.  ( Base `  N
) )  ->  (
y ( +g  `  N
) x )  e.  ( Base `  N
) )
4034, 17, 15, 39syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( y ( +g  `  N ) x )  e.  (
Base `  N )
)
41 f1ocnvfv2 5996 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( Base `  M ) -1-1-onto-> ( Base `  N
)  /\  ( y
( +g  `  N ) x )  e.  (
Base `  N )
)  ->  ( F `  ( `' F `  ( y ( +g  `  N ) x ) ) )  =  ( y ( +g  `  N
) x ) )
4233, 40, 41syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  ( y ( +g  `  N
) x ) ) )  =  ( y ( +g  `  N
) x ) )
4332, 38, 423eqtr3d 2483 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( x ( +g  `  N ) y )  =  ( y ( +g  `  N
) x ) )
4443ralrimivva 2820 . . 3  |-  ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  ->  A. x  e.  ( Base `  N
) A. y  e.  ( Base `  N
) ( x ( +g  `  N ) y )  =  ( y ( +g  `  N
) x ) )
459, 26iscmn 16296 . . 3  |-  ( N  e. CMnd 
<->  ( N  e.  Mnd  /\ 
A. x  e.  (
Base `  N ) A. y  e.  ( Base `  N ) ( x ( +g  `  N
) y )  =  ( y ( +g  `  N ) x ) ) )
466, 44, 45sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  ->  N  e. CMnd )
47 isabl 16293 . 2  |-  ( N  e.  Abel  <->  ( N  e. 
Grp  /\  N  e. CMnd ) )
484, 46, 47sylanbrc 664 1  |-  ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  ->  N  e.  Abel )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727   `'ccnv 4851   -->wf 5426   -1-1-onto->wf1o 5429   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   Basecbs 14186   +g cplusg 14250   Mndcmnd 15421   Grpcgrp 15422    GrpHom cghm 15756   GrpIso cgim 15797  CMndccmn 16289   Abelcabel 16290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-mnd 15427  df-grp 15557  df-ghm 15757  df-gim 15799  df-cmn 16291  df-abl 16292
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