Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  abliso Structured version   Unicode version

Theorem abliso 27846
Description: The image of an Abelian group by a group isomorphism is also Abelian. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
abliso  |-  ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  ->  N  e.  Abel )

Proof of Theorem abliso
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gimghm 16439 . . . 4  |-  ( F  e.  ( M GrpIso  N
)  ->  F  e.  ( M  GrpHom  N ) )
2 ghmgrp2 16397 . . . 4  |-  ( F  e.  ( M  GrpHom  N )  ->  N  e.  Grp )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  ( M GrpIso  N
)  ->  N  e.  Grp )
43adantl 466 . 2  |-  ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  ->  N  e.  Grp )
5 grpmnd 16189 . . . 4  |-  ( N  e.  Grp  ->  N  e.  Mnd )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  ->  N  e.  Mnd )
7 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  M  e.  Abel )
8 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
9 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  N )  =  (
Base `  N )
108, 9gimf1o 16438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( M GrpIso  N
)  ->  F :
( Base `  M ) -1-1-onto-> ( Base `  N ) )
11 f1ocnv 5834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : ( Base `  M
)
-1-1-onto-> ( Base `  N )  ->  `' F : ( Base `  N ) -1-1-onto-> ( Base `  M
) )
12 f1of 5822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F : ( Base `  N ) -1-1-onto-> ( Base `  M
)  ->  `' F : ( Base `  N
) --> ( Base `  M
) )
1310, 11, 123syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( M GrpIso  N
)  ->  `' F : ( Base `  N
) --> ( Base `  M
) )
1413ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  `' F :
( Base `  N ) --> ( Base `  M )
)
15 simprl 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  x  e.  (
Base `  N )
)
1614, 15ffvelrnd 6033 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( `' F `  x )  e.  (
Base `  M )
)
17 simprr 757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  y  e.  (
Base `  N )
)
1814, 17ffvelrnd 6033 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( `' F `  y )  e.  (
Base `  M )
)
19 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
208, 19ablcom 16942 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  Abel  /\  ( `' F `  x )  e.  ( Base `  M
)  /\  ( `' F `  y )  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
( `' F `  x ) ( +g  `  M ) ( `' F `  y ) )  =  ( ( `' F `  y ) ( +g  `  M
) ( `' F `  x ) ) )
217, 16, 18, 20syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  M
) ( `' F `  y ) )  =  ( ( `' F `  y ) ( +g  `  M ) ( `' F `  x ) ) )
22 gimcnv 16442 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( M GrpIso  N
)  ->  `' F  e.  ( N GrpIso  M ) )
2322ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  `' F  e.  ( N GrpIso  M ) )
24 gimghm 16439 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F  e.  ( N GrpIso  M )  ->  `' F  e.  ( N  GrpHom  M ) )
2523, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  `' F  e.  ( N  GrpHom  M ) )
26 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  N )  =  ( +g  `  N )
279, 26, 19ghmlin 16399 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F  e.  ( N  GrpHom  M )  /\  x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N
) )  ->  ( `' F `  ( x ( +g  `  N
) y ) )  =  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  M
) ( `' F `  y ) ) )
2825, 15, 17, 27syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( `' F `  ( x ( +g  `  N ) y ) )  =  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  M
) ( `' F `  y ) ) )
299, 26, 19ghmlin 16399 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F  e.  ( N  GrpHom  M )  /\  y  e.  ( Base `  N )  /\  x  e.  ( Base `  N
) )  ->  ( `' F `  ( y ( +g  `  N
) x ) )  =  ( ( `' F `  y ) ( +g  `  M
) ( `' F `  x ) ) )
3025, 17, 15, 29syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( `' F `  ( y ( +g  `  N ) x ) )  =  ( ( `' F `  y ) ( +g  `  M
) ( `' F `  x ) ) )
3121, 28, 303eqtr4d 2508 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( `' F `  ( x ( +g  `  N ) y ) )  =  ( `' F `  ( y ( +g  `  N
) x ) ) )
3231fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  ( x ( +g  `  N
) y ) ) )  =  ( F `
 ( `' F `  ( y ( +g  `  N ) x ) ) ) )
3310ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  F : (
Base `  M ) -1-1-onto-> ( Base `  N ) )
343ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  N  e.  Grp )
359, 26grpcl 16190 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N
) )  ->  (
x ( +g  `  N
) y )  e.  ( Base `  N
) )
3634, 15, 17, 35syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( x ( +g  `  N ) y )  e.  (
Base `  N )
)
37 f1ocnvfv2 6184 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( Base `  M ) -1-1-onto-> ( Base `  N
)  /\  ( x
( +g  `  N ) y )  e.  (
Base `  N )
)  ->  ( F `  ( `' F `  ( x ( +g  `  N ) y ) ) )  =  ( x ( +g  `  N
) y ) )
3833, 36, 37syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  ( x ( +g  `  N
) y ) ) )  =  ( x ( +g  `  N
) y ) )
399, 26grpcl 16190 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Grp  /\  y  e.  ( Base `  N )  /\  x  e.  ( Base `  N
) )  ->  (
y ( +g  `  N
) x )  e.  ( Base `  N
) )
4034, 17, 15, 39syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( y ( +g  `  N ) x )  e.  (
Base `  N )
)
41 f1ocnvfv2 6184 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( Base `  M ) -1-1-onto-> ( Base `  N
)  /\  ( y
( +g  `  N ) x )  e.  (
Base `  N )
)  ->  ( F `  ( `' F `  ( y ( +g  `  N ) x ) ) )  =  ( y ( +g  `  N
) x ) )
4233, 40, 41syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  ( y ( +g  `  N
) x ) ) )  =  ( y ( +g  `  N
) x ) )
4332, 38, 423eqtr3d 2506 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( x ( +g  `  N ) y )  =  ( y ( +g  `  N
) x ) )
4443ralrimivva 2878 . . 3  |-  ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  ->  A. x  e.  ( Base `  N
) A. y  e.  ( Base `  N
) ( x ( +g  `  N ) y )  =  ( y ( +g  `  N
) x ) )
459, 26iscmn 16932 . . 3  |-  ( N  e. CMnd 
<->  ( N  e.  Mnd  /\ 
A. x  e.  (
Base `  N ) A. y  e.  ( Base `  N ) ( x ( +g  `  N
) y )  =  ( y ( +g  `  N ) x ) ) )
466, 44, 45sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  ->  N  e. CMnd )
47 isabl 16929 . 2  |-  ( N  e.  Abel  <->  ( N  e. 
Grp  /\  N  e. CMnd ) )
484, 46, 47sylanbrc 664 1  |-  ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  ->  N  e.  Abel )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   `'ccnv 5007   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   +g cplusg 14712   Mndcmnd 16046   Grpcgrp 16180    GrpHom cghm 16391   GrpIso cgim 16432  CMndccmn 16925   Abelcabl 16926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-ghm 16392  df-gim 16434  df-cmn 16927  df-abl 16928
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator