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Theorem abliso 28471
Description: The image of an Abelian group by a group isomorphism is also Abelian. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
abliso  |-  ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  ->  N  e.  Abel )

Proof of Theorem abliso
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gimghm 16940 . . . 4  |-  ( F  e.  ( M GrpIso  N
)  ->  F  e.  ( M  GrpHom  N ) )
2 ghmgrp2 16898 . . . 4  |-  ( F  e.  ( M  GrpHom  N )  ->  N  e.  Grp )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( F  e.  ( M GrpIso  N
)  ->  N  e.  Grp )
43adantl 468 . 2  |-  ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  ->  N  e.  Grp )
5 grpmnd 16690 . . . 4  |-  ( N  e.  Grp  ->  N  e.  Mnd )
64, 5syl 17 . . 3  |-  ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  ->  N  e.  Mnd )
7 simpll 761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  M  e.  Abel )
8 eqid 2453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
9 eqid 2453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  N )  =  (
Base `  N )
108, 9gimf1o 16939 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( M GrpIso  N
)  ->  F :
( Base `  M ) -1-1-onto-> ( Base `  N ) )
11 f1ocnv 5831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : ( Base `  M
)
-1-1-onto-> ( Base `  N )  ->  `' F : ( Base `  N ) -1-1-onto-> ( Base `  M
) )
12 f1of 5819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F : ( Base `  N ) -1-1-onto-> ( Base `  M
)  ->  `' F : ( Base `  N
) --> ( Base `  M
) )
1310, 11, 123syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( M GrpIso  N
)  ->  `' F : ( Base `  N
) --> ( Base `  M
) )
1413ad2antlr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  `' F :
( Base `  N ) --> ( Base `  M )
)
15 simprl 765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  x  e.  (
Base `  N )
)
1614, 15ffvelrnd 6028 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( `' F `  x )  e.  (
Base `  M )
)
17 simprr 767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  y  e.  (
Base `  N )
)
1814, 17ffvelrnd 6028 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( `' F `  y )  e.  (
Base `  M )
)
19 eqid 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
208, 19ablcom 17459 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  Abel  /\  ( `' F `  x )  e.  ( Base `  M
)  /\  ( `' F `  y )  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
( `' F `  x ) ( +g  `  M ) ( `' F `  y ) )  =  ( ( `' F `  y ) ( +g  `  M
) ( `' F `  x ) ) )
217, 16, 18, 20syl3anc 1269 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  M
) ( `' F `  y ) )  =  ( ( `' F `  y ) ( +g  `  M ) ( `' F `  x ) ) )
22 gimcnv 16943 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( M GrpIso  N
)  ->  `' F  e.  ( N GrpIso  M ) )
2322ad2antlr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  `' F  e.  ( N GrpIso  M ) )
24 gimghm 16940 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F  e.  ( N GrpIso  M )  ->  `' F  e.  ( N  GrpHom  M ) )
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  `' F  e.  ( N  GrpHom  M ) )
26 eqid 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  N )  =  ( +g  `  N )
279, 26, 19ghmlin 16900 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F  e.  ( N  GrpHom  M )  /\  x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N
) )  ->  ( `' F `  ( x ( +g  `  N
) y ) )  =  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  M
) ( `' F `  y ) ) )
2825, 15, 17, 27syl3anc 1269 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( `' F `  ( x ( +g  `  N ) y ) )  =  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  M
) ( `' F `  y ) ) )
299, 26, 19ghmlin 16900 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F  e.  ( N  GrpHom  M )  /\  y  e.  ( Base `  N )  /\  x  e.  ( Base `  N
) )  ->  ( `' F `  ( y ( +g  `  N
) x ) )  =  ( ( `' F `  y ) ( +g  `  M
) ( `' F `  x ) ) )
3025, 17, 15, 29syl3anc 1269 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( `' F `  ( y ( +g  `  N ) x ) )  =  ( ( `' F `  y ) ( +g  `  M
) ( `' F `  x ) ) )
3121, 28, 303eqtr4d 2497 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( `' F `  ( x ( +g  `  N ) y ) )  =  ( `' F `  ( y ( +g  `  N
) x ) ) )
3231fveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  ( x ( +g  `  N
) y ) ) )  =  ( F `
 ( `' F `  ( y ( +g  `  N ) x ) ) ) )
3310ad2antlr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  F : (
Base `  M ) -1-1-onto-> ( Base `  N ) )
343ad2antlr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  N  e.  Grp )
359, 26grpcl 16691 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N
) )  ->  (
x ( +g  `  N
) y )  e.  ( Base `  N
) )
3634, 15, 17, 35syl3anc 1269 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( x ( +g  `  N ) y )  e.  (
Base `  N )
)
37 f1ocnvfv2 6181 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( Base `  M ) -1-1-onto-> ( Base `  N
)  /\  ( x
( +g  `  N ) y )  e.  (
Base `  N )
)  ->  ( F `  ( `' F `  ( x ( +g  `  N ) y ) ) )  =  ( x ( +g  `  N
) y ) )
3833, 36, 37syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  ( x ( +g  `  N
) y ) ) )  =  ( x ( +g  `  N
) y ) )
399, 26grpcl 16691 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Grp  /\  y  e.  ( Base `  N )  /\  x  e.  ( Base `  N
) )  ->  (
y ( +g  `  N
) x )  e.  ( Base `  N
) )
4034, 17, 15, 39syl3anc 1269 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( y ( +g  `  N ) x )  e.  (
Base `  N )
)
41 f1ocnvfv2 6181 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( Base `  M ) -1-1-onto-> ( Base `  N
)  /\  ( y
( +g  `  N ) x )  e.  (
Base `  N )
)  ->  ( F `  ( `' F `  ( y ( +g  `  N ) x ) ) )  =  ( y ( +g  `  N
) x ) )
4233, 40, 41syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  ( y ( +g  `  N
) x ) ) )  =  ( y ( +g  `  N
) x ) )
4332, 38, 423eqtr3d 2495 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( x ( +g  `  N ) y )  =  ( y ( +g  `  N
) x ) )
4443ralrimivva 2811 . . 3  |-  ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  ->  A. x  e.  ( Base `  N
) A. y  e.  ( Base `  N
) ( x ( +g  `  N ) y )  =  ( y ( +g  `  N
) x ) )
459, 26iscmn 17449 . . 3  |-  ( N  e. CMnd 
<->  ( N  e.  Mnd  /\ 
A. x  e.  (
Base `  N ) A. y  e.  ( Base `  N ) ( x ( +g  `  N
) y )  =  ( y ( +g  `  N ) x ) ) )
466, 44, 45sylanbrc 671 . 2  |-  ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  ->  N  e. CMnd )
47 isabl 17446 . 2  |-  ( N  e.  Abel  <->  ( N  e. 
Grp  /\  N  e. CMnd ) )
484, 46, 47sylanbrc 671 1  |-  ( ( M  e.  Abel  /\  F  e.  ( M GrpIso  N ) )  ->  N  e.  Abel )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   A.wral 2739   `'ccnv 4836   -->wf 5581   -1-1-onto->wf1o 5584   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   Basecbs 15133   +g cplusg 15202   Mndcmnd 16547   Grpcgrp 16681    GrpHom cghm 16892   GrpIso cgim 16933  CMndccmn 17442   Abelcabl 17443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-grp 16685  df-ghm 16893  df-gim 16935  df-cmn 17444  df-abl 17445
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