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Theorem ablfacrp 16589
Description: A finite abelian group whose order factors into relatively prime integers, itself "factors" into two subgroups  K ,  L that have trivial intersection and whose product is the whole group. Lemma 6.1C.2 of [Shapiro], p. 199. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfacrp.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablfacrp.o  |-  O  =  ( od `  G
)
ablfacrp.k  |-  K  =  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  M }
ablfacrp.l  |-  L  =  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }
ablfacrp.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
ablfacrp.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
ablfacrp.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
ablfacrp.1  |-  ( ph  ->  ( M  gcd  N
)  =  1 )
ablfacrp.2  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  =  ( M  x.  N ) )
ablfacrp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
ablfacrp.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
Assertion
Ref Expression
ablfacrp  |-  ( ph  ->  ( ( K  i^i  L )  =  {  .0.  }  /\  ( K  .(+)  L )  =  B ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, G    x, O    x, M    x, N    ph, x    x,  .0.
Allowed substitution hints:    .(+) ( x)    K( x)    L( x)

Proof of Theorem ablfacrp
Dummy variables  a 
b  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfacrp.k . . . . . 6  |-  K  =  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  M }
2 ablfacrp.l . . . . . 6  |-  L  =  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }
31, 2ineq12i 3571 . . . . 5  |-  ( K  i^i  L )  =  ( { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  M }  i^i  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } )
4 inrab 3643 . . . . 5  |-  ( { x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  M }  i^i  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } )  =  {
x  e.  B  | 
( ( O `  x )  ||  M  /\  ( O `  x
)  ||  N ) }
53, 4eqtri 2463 . . . 4  |-  ( K  i^i  L )  =  { x  e.  B  |  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) }
6 ablfacrp.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  ( Base `  G
)
7 ablfacrp.o . . . . . . . . . . . . . 14  |-  O  =  ( od `  G
)
86, 7odcl 16060 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  B  ->  ( O `  x )  e.  NN0 )
98adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( O `  x )  e.  NN0 )
109nn0zd 10766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( O `  x )  e.  ZZ )
11 ablfacrp.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
1211nnzd 10767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1312adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  M  e.  ZZ )
14 ablfacrp.n . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
1514nnzd 10767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
1615adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  N  e.  ZZ )
17 dvdsgcd 13748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( O `  x
)  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( O `  x )  ||  M  /\  ( O `  x
)  ||  N )  ->  ( O `  x
)  ||  ( M  gcd  N ) ) )
1810, 13, 16, 17syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( ( O `  x )  ||  M  /\  ( O `  x
)  ||  N )  ->  ( O `  x
)  ||  ( M  gcd  N ) ) )
19183impia 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) )  ->  ( O `  x )  ||  ( M  gcd  N
) )
20 ablfacrp.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  gcd  N
)  =  1 )
21203ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) )  ->  ( M  gcd  N )  =  1 )
2219, 21breqtrd 4337 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) )  ->  ( O `  x )  ||  1 )
23 simp2 989 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) )  ->  x  e.  B )
24 dvds1 13602 . . . . . . . . 9  |-  ( ( O `  x )  e.  NN0  ->  ( ( O `  x ) 
||  1  <->  ( O `  x )  =  1 ) )
2523, 8, 243syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) )  ->  (
( O `  x
)  ||  1  <->  ( O `  x )  =  1 ) )
2622, 25mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) )  ->  ( O `  x )  =  1 )
27 ablfacrp.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
28 ablgrp 16303 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
30293ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) )  ->  G  e.  Grp )
31 ablfacrp.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
327, 31, 6odeq1 16082 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( ( O `  x )  =  1  <-> 
x  =  .0.  )
)
3330, 23, 32syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) )  ->  (
( O `  x
)  =  1  <->  x  =  .0.  ) )
3426, 33mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) )  ->  x  =  .0.  )
35 elsn 3912 . . . . . 6  |-  ( x  e.  {  .0.  }  <->  x  =  .0.  )
3634, 35sylibr 212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) )  ->  x  e.  {  .0.  } )
3736rabssdv 3453 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  ( ( O `
 x )  ||  M  /\  ( O `  x )  ||  N
) }  C_  {  .0.  } )
385, 37syl5eqss 3421 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  L
)  C_  {  .0.  } )
397, 6oddvdssubg 16358 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  M  e.  ZZ )  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  M }  e.  (SubGrp `  G ) )
4027, 12, 39syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  M }  e.  (SubGrp `  G
) )
411, 40syl5eqel 2527 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
4231subg0cl 15710 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  K )
4341, 42syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  K )
447, 6oddvdssubg 16358 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  e.  (SubGrp `  G ) )
4527, 15, 44syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  e.  (SubGrp `  G
) )
462, 45syl5eqel 2527 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  (SubGrp `  G ) )
4731subg0cl 15710 . . . . . 6  |-  ( L  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  L )
4846, 47syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  L )
4943, 48elind 3561 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( K  i^i  L ) )
5049snssd 4039 . . 3  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C_  ( K  i^i  L ) )
5138, 50eqssd 3394 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  L
)  =  {  .0.  } )
52 ablfacrp.s . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
5352lsmsubg2 16362 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  K  e.  (SubGrp `  G )  /\  L  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( K  .(+)  L )  e.  (SubGrp `  G
) )
5427, 41, 46, 53syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  .(+)  L )  e.  (SubGrp `  G
) )
556subgss 15703 . . . 4  |-  ( ( K  .(+)  L )  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( K  .(+)  L ) 
C_  B )
5654, 55syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  .(+)  L ) 
C_  B )
57 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
586, 57mulg1 15655 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  B  ->  (
1 (.g `  G ) g )  =  g )
5958adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  B )  ->  (
1 (.g `  G ) g )  =  g )
60 bezout 13747 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  a )  +  ( N  x.  b ) ) )
6112, 15, 60syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  a )  +  ( N  x.  b ) ) )
6261adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  B )  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  a )  +  ( N  x.  b ) ) )
6320ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( M  gcd  N )  =  1 )
6463eqeq1d 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  a )  +  ( N  x.  b ) )  <->  1  =  ( ( M  x.  a
)  +  ( N  x.  b ) ) ) )
6512ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  M  e.  ZZ )
66 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  a  e.  ZZ )
6765, 66zmulcld 10774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( M  x.  a )  e.  ZZ )
6867zcnd 10769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( M  x.  a )  e.  CC )
6915ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  N  e.  ZZ )
70 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  b  e.  ZZ )
7169, 70zmulcld 10774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( N  x.  b )  e.  ZZ )
7271zcnd 10769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( N  x.  b )  e.  CC )
7368, 72addcomd 9592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  x.  a )  +  ( N  x.  b ) )  =  ( ( N  x.  b )  +  ( M  x.  a ) ) )
7473oveq1d 6127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( M  x.  a
)  +  ( N  x.  b ) ) (.g `  G ) g )  =  ( ( ( N  x.  b
)  +  ( M  x.  a ) ) (.g `  G ) g ) )
7529ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  G  e.  Grp )
76 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  g  e.  B )
77 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
786, 57, 77mulgdir 15673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( N  x.  b )  e.  ZZ  /\  ( M  x.  a
)  e.  ZZ  /\  g  e.  B )
)  ->  ( (
( N  x.  b
)  +  ( M  x.  a ) ) (.g `  G ) g )  =  ( ( ( N  x.  b
) (.g `  G ) g ) ( +g  `  G
) ( ( M  x.  a ) (.g `  G ) g ) ) )
7975, 71, 67, 76, 78syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( N  x.  b
)  +  ( M  x.  a ) ) (.g `  G ) g )  =  ( ( ( N  x.  b
) (.g `  G ) g ) ( +g  `  G
) ( ( M  x.  a ) (.g `  G ) g ) ) )
8074, 79eqtrd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( M  x.  a
)  +  ( N  x.  b ) ) (.g `  G ) g )  =  ( ( ( N  x.  b
) (.g `  G ) g ) ( +g  `  G
) ( ( M  x.  a ) (.g `  G ) g ) ) )
8141ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
8246ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  L  e.  (SubGrp `  G ) )
836, 57mulgcl 15665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N  x.  b
)  e.  ZZ  /\  g  e.  B )  ->  ( ( N  x.  b ) (.g `  G
) g )  e.  B )
8475, 71, 76, 83syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( N  x.  b )
(.g `  G ) g )  e.  B )
85 ablfacrp.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  =  ( M  x.  N ) )
8611, 14nnmulcld 10390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( M  x.  N
)  e.  NN )
8786nnnn0d 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( M  x.  N
)  e.  NN0 )
8885, 87eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
89 fvex 5722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Base `  G )  e.  _V
906, 89eqeltri 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  B  e. 
_V
91 hashclb 12149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e.  Fin  <->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
)
9290, 91ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  e.  Fin  <->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
9388, 92sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
9493ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  B  e.  Fin )
956, 7oddvds2 16088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  Fin  /\  g  e.  B )  ->  ( O `  g )  ||  ( # `  B
) )
9675, 94, 76, 95syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( O `  g )  ||  ( # `
 B ) )
9785ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( # `  B
)  =  ( M  x.  N ) )
9896, 97breqtrd 4337 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( O `  g )  ||  ( M  x.  N )
)
996, 7odcl 16060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  e.  B  ->  ( O `  g )  e.  NN0 )
10099ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( O `  g )  e.  NN0 )
101100nn0zd 10766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( O `  g )  e.  ZZ )
10265, 69zmulcld 10774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( M  x.  N )  e.  ZZ )
103 dvdsmultr1 13588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( O `  g
)  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N
)  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( O `  g )  ||  ( M  x.  N )  ->  ( O `  g
)  ||  ( ( M  x.  N )  x.  b ) ) )
104101, 102, 70, 103syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( O `  g )  ||  ( M  x.  N
)  ->  ( O `  g )  ||  (
( M  x.  N
)  x.  b ) ) )
10598, 104mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( O `  g )  ||  (
( M  x.  N
)  x.  b ) )
10665zcnd 10769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  M  e.  CC )
10769zcnd 10769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  N  e.  CC )
10870zcnd 10769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  b  e.  CC )
109106, 107, 108mulassd 9430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  x.  N )  x.  b )  =  ( M  x.  ( N  x.  b ) ) )
110105, 109breqtrd 4337 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( O `  g )  ||  ( M  x.  ( N  x.  b ) ) )
1116, 7, 57odmulgid 16076 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  g  e.  B  /\  ( N  x.  b
)  e.  ZZ )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( O `
 ( ( N  x.  b ) (.g `  G ) g ) )  ||  M  <->  ( O `  g )  ||  ( M  x.  ( N  x.  b ) ) ) )
11275, 76, 71, 65, 111syl31anc 1221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( O `  ( ( N  x.  b )
(.g `  G ) g ) )  ||  M  <->  ( O `  g ) 
||  ( M  x.  ( N  x.  b
) ) ) )
113110, 112mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( O `  ( ( N  x.  b ) (.g `  G
) g ) ) 
||  M )
114 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( ( N  x.  b ) (.g `  G ) g )  ->  ( O `  x )  =  ( O `  ( ( N  x.  b ) (.g `  G ) g ) ) )
115114breq1d 4323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( ( N  x.  b ) (.g `  G ) g )  ->  ( ( O `
 x )  ||  M 
<->  ( O `  (
( N  x.  b
) (.g `  G ) g ) )  ||  M
) )
116115, 1elrab2 3140 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  x.  b
) (.g `  G ) g )  e.  K  <->  ( (
( N  x.  b
) (.g `  G ) g )  e.  B  /\  ( O `  ( ( N  x.  b ) (.g `  G ) g ) )  ||  M
) )
11784, 113, 116sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( N  x.  b )
(.g `  G ) g )  e.  K )
1186, 57mulgcl 15665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  x.  a
)  e.  ZZ  /\  g  e.  B )  ->  ( ( M  x.  a ) (.g `  G
) g )  e.  B )
11975, 67, 76, 118syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  x.  a )
(.g `  G ) g )  e.  B )
120 dvdsmultr1 13588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( O `  g
)  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N
)  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( O `  g )  ||  ( M  x.  N )  ->  ( O `  g
)  ||  ( ( M  x.  N )  x.  a ) ) )
121101, 102, 66, 120syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( O `  g )  ||  ( M  x.  N
)  ->  ( O `  g )  ||  (
( M  x.  N
)  x.  a ) ) )
12298, 121mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( O `  g )  ||  (
( M  x.  N
)  x.  a ) )
123 zcn 10672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ZZ  ->  a  e.  CC )
124123ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  a  e.  CC )
125 mulass 9391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  a  e.  CC )  ->  (
( M  x.  N
)  x.  a )  =  ( M  x.  ( N  x.  a
) ) )
126 mul12 9556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  a  e.  CC )  ->  ( M  x.  ( N  x.  a ) )  =  ( N  x.  ( M  x.  a )
) )
127125, 126eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  a  e.  CC )  ->  (
( M  x.  N
)  x.  a )  =  ( N  x.  ( M  x.  a
) ) )
128106, 107, 124, 127syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  x.  N )  x.  a )  =  ( N  x.  ( M  x.  a ) ) )
129122, 128breqtrd 4337 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( O `  g )  ||  ( N  x.  ( M  x.  a ) ) )
1306, 7, 57odmulgid 16076 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  g  e.  B  /\  ( M  x.  a
)  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( O `
 ( ( M  x.  a ) (.g `  G ) g ) )  ||  N  <->  ( O `  g )  ||  ( N  x.  ( M  x.  a ) ) ) )
13175, 76, 67, 69, 130syl31anc 1221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( O `  ( ( M  x.  a )
(.g `  G ) g ) )  ||  N  <->  ( O `  g ) 
||  ( N  x.  ( M  x.  a
) ) ) )
132129, 131mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( O `  ( ( M  x.  a ) (.g `  G
) g ) ) 
||  N )
133 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( ( M  x.  a ) (.g `  G ) g )  ->  ( O `  x )  =  ( O `  ( ( M  x.  a ) (.g `  G ) g ) ) )
134133breq1d 4323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( ( M  x.  a ) (.g `  G ) g )  ->  ( ( O `
 x )  ||  N 
<->  ( O `  (
( M  x.  a
) (.g `  G ) g ) )  ||  N
) )
135134, 2elrab2 3140 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  x.  a
) (.g `  G ) g )  e.  L  <->  ( (
( M  x.  a
) (.g `  G ) g )  e.  B  /\  ( O `  ( ( M  x.  a ) (.g `  G ) g ) )  ||  N
) )
136119, 132, 135sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  x.  a )
(.g `  G ) g )  e.  L )
13777, 52lsmelvali 16170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  (SubGrp `  G )  /\  L  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( N  x.  b
) (.g `  G ) g )  e.  K  /\  ( ( M  x.  a ) (.g `  G
) g )  e.  L ) )  -> 
( ( ( N  x.  b ) (.g `  G ) g ) ( +g  `  G
) ( ( M  x.  a ) (.g `  G ) g ) )  e.  ( K 
.(+)  L ) )
13881, 82, 117, 136, 137syl22anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( N  x.  b
) (.g `  G ) g ) ( +g  `  G
) ( ( M  x.  a ) (.g `  G ) g ) )  e.  ( K 
.(+)  L ) )
13980, 138eqeltrd 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( M  x.  a
)  +  ( N  x.  b ) ) (.g `  G ) g )  e.  ( K 
.(+)  L ) )
140 oveq1 6119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  =  ( ( M  x.  a )  +  ( N  x.  b
) )  ->  (
1 (.g `  G ) g )  =  ( ( ( M  x.  a
)  +  ( N  x.  b ) ) (.g `  G ) g ) )
141140eleq1d 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  =  ( ( M  x.  a )  +  ( N  x.  b
) )  ->  (
( 1 (.g `  G
) g )  e.  ( K  .(+)  L )  <-> 
( ( ( M  x.  a )  +  ( N  x.  b
) ) (.g `  G
) g )  e.  ( K  .(+)  L ) ) )
142139, 141syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( 1  =  ( ( M  x.  a )  +  ( N  x.  b
) )  ->  (
1 (.g `  G ) g )  e.  ( K 
.(+)  L ) ) )
14364, 142sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  B )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  a )  +  ( N  x.  b ) )  ->  ( 1 (.g `  G ) g )  e.  ( K 
.(+)  L ) ) )
144143rexlimdvva 2869 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  B )  ->  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  a )  +  ( N  x.  b ) )  ->  ( 1 (.g `  G ) g )  e.  ( K 
.(+)  L ) ) )
14562, 144mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  B )  ->  (
1 (.g `  G ) g )  e.  ( K 
.(+)  L ) )
14659, 145eqeltrrd 2518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  B )  ->  g  e.  ( K  .(+)  L ) )
147146ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( g  e.  B  ->  g  e.  ( K 
.(+)  L ) ) )
148147ssrdv 3383 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  ( K  .(+) 
L ) )
14956, 148eqssd 3394 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  .(+)  L )  =  B )
15051, 149jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( K  i^i  L )  =  {  .0.  }  /\  ( K  .(+)  L )  =  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 2993    i^i cin 3348    C_ wss 3349   {csn 3898   class class class wbr 4313   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Fincfn 7331   CCcc 9301   1c1 9304    + caddc 9306    x. cmul 9308   NNcn 10343   NN0cn0 10600   ZZcz 10667   #chash 12124    || cdivides 13556    gcd cgcd 13711   Basecbs 14195   +g cplusg 14259   0gc0g 14399   Grpcgrp 15431  .gcmg 15435  SubGrpcsubg 15696   odcod 16049   LSSumclsm 16154   Abelcabel 16299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-disj 4284  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-omul 6946  df-er 7122  df-ec 7124  df-qs 7128  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-acn 8133  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-rp 11013  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-mod 11730  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-clim 12987  df-sum 13185  df-dvds 13557  df-gcd 13712  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-0g 14401  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-sbg 15568  df-mulg 15569  df-subg 15699  df-eqg 15701  df-cntz 15856  df-od 16053  df-lsm 16156  df-cmn 16300  df-abl 16301
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