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Theorem ablfacrp 16989
 Description: A finite abelian group whose order factors into relatively prime integers, itself "factors" into two subgroups that have trivial intersection and whose product is the whole group. Lemma 6.1C.2 of [Shapiro], p. 199. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfacrp.b
ablfacrp.o
ablfacrp.k
ablfacrp.l
ablfacrp.g
ablfacrp.m
ablfacrp.n
ablfacrp.1
ablfacrp.2
ablfacrp.z
ablfacrp.s
Assertion
Ref Expression
ablfacrp
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem ablfacrp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfacrp.k . . . . . 6
2 ablfacrp.l . . . . . 6
31, 2ineq12i 3703 . . . . 5
4 inrab 3775 . . . . 5
53, 4eqtri 2496 . . . 4
6 ablfacrp.b . . . . . . . . . . . . . 14
7 ablfacrp.o . . . . . . . . . . . . . 14
86, 7odcl 16433 . . . . . . . . . . . . 13
98adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
109nn0zd 10976 . . . . . . . . . . 11
11 ablfacrp.m . . . . . . . . . . . . 13
1211nnzd 10977 . . . . . . . . . . . 12
1312adantr 465 . . . . . . . . . . 11
14 ablfacrp.n . . . . . . . . . . . . 13
1514nnzd 10977 . . . . . . . . . . . 12
1615adantr 465 . . . . . . . . . . 11
17 dvdsgcd 14057 . . . . . . . . . . 11
1810, 13, 16, 17syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
19183impia 1193 . . . . . . . . 9
20 ablfacrp.1 . . . . . . . . . 10
21203ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9
2219, 21breqtrd 4477 . . . . . . . 8
23 simp2 997 . . . . . . . . 9
24 dvds1 13910 . . . . . . . . 9
2523, 8, 243syl 20 . . . . . . . 8
2622, 25mpbid 210 . . . . . . 7
27 ablfacrp.g . . . . . . . . . 10
28 ablgrp 16676 . . . . . . . . . 10
2927, 28syl 16 . . . . . . . . 9
30293ad2ant1 1017 . . . . . . . 8
31 ablfacrp.z . . . . . . . . 9
327, 31, 6odeq1 16455 . . . . . . . 8
3330, 23, 32syl2anc 661 . . . . . . 7
3426, 33mpbid 210 . . . . . 6
35 elsn 4047 . . . . . 6
3634, 35sylibr 212 . . . . 5
3736rabssdv 3585 . . . 4
385, 37syl5eqss 3553 . . 3
397, 6oddvdssubg 16734 . . . . . . . 8 SubGrp
4027, 12, 39syl2anc 661 . . . . . . 7 SubGrp
411, 40syl5eqel 2559 . . . . . 6 SubGrp
4231subg0cl 16081 . . . . . 6 SubGrp
4341, 42syl 16 . . . . 5
447, 6oddvdssubg 16734 . . . . . . . 8 SubGrp
4527, 15, 44syl2anc 661 . . . . . . 7 SubGrp
462, 45syl5eqel 2559 . . . . . 6 SubGrp
4731subg0cl 16081 . . . . . 6 SubGrp
4846, 47syl 16 . . . . 5
4943, 48elind 3693 . . . 4
5049snssd 4178 . . 3
5138, 50eqssd 3526 . 2
52 ablfacrp.s . . . . . 6
5352lsmsubg2 16738 . . . . 5 SubGrp SubGrp SubGrp
5427, 41, 46, 53syl3anc 1228 . . . 4 SubGrp
556subgss 16074 . . . 4 SubGrp
5654, 55syl 16 . . 3
57 eqid 2467 . . . . . . . 8 .g .g
586, 57mulg1 16021 . . . . . . 7 .g
5958adantl 466 . . . . . 6 .g
60 bezout 14056 . . . . . . . . 9
6112, 15, 60syl2anc 661 . . . . . . . 8
6261adantr 465 . . . . . . 7
6320ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
6463eqeq1d 2469 . . . . . . . . 9
6512ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16
66 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6765, 66zmulcld 10984 . . . . . . . . . . . . . . 15
6867zcnd 10979 . . . . . . . . . . . . . 14
6915ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16
70 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7169, 70zmulcld 10984 . . . . . . . . . . . . . . 15
7271zcnd 10979 . . . . . . . . . . . . . 14
7368, 72addcomd 9793 . . . . . . . . . . . . 13
7473oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . 12 .g .g
7529ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13
76 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13
77 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14
786, 57, 77mulgdir 16039 . . . . . . . . . . . . 13 .g .g .g
7975, 71, 67, 76, 78syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . 12 .g .g .g
8074, 79eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11 .g .g .g
8141ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
8246ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
836, 57mulgcl 16031 . . . . . . . . . . . . . 14 .g
8475, 71, 76, 83syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13 .g
85 ablfacrp.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8611, 14nnmulcld 10595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8786nnnn0d 10864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8885, 87eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
89 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
906, 89eqeltri 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
91 hashclb 12410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9290, 91ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9388, 92sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9493ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
956, 7oddvds2 16461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9675, 94, 76, 95syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9785ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9896, 97breqtrd 4477 . . . . . . . . . . . . . . . 16
996, 7odcl 16433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10099ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
101100nn0zd 10976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10265, 69zmulcld 10984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
103 dvdsmultr1 13896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
104101, 102, 70, 103syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10598, 104mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
10665zcnd 10979 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10769zcnd 10979 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10870zcnd 10979 . . . . . . . . . . . . . . . 16
109106, 107, 108mulassd 9631 . . . . . . . . . . . . . . 15
110105, 109breqtrd 4477 . . . . . . . . . . . . . 14
1116, 7, 57odmulgid 16449 . . . . . . . . . . . . . . 15 .g
11275, 76, 71, 65, 111syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . . 14 .g
113110, 112mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13 .g
114 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15 .g .g
115114breq1d 4463 . . . . . . . . . . . . . 14 .g .g
116115, 1elrab2 3268 . . . . . . . . . . . . 13 .g .g .g
11784, 113, 116sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12 .g
1186, 57mulgcl 16031 . . . . . . . . . . . . . 14 .g
11975, 67, 76, 118syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13 .g
120 dvdsmultr1 13896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
121101, 102, 66, 120syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12298, 121mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
123 zcn 10881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
124123ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16
125 mulass 9592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
126 mul12 9757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
127125, 126eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . 16
128106, 107, 124, 127syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15
129122, 128breqtrd 4477 . . . . . . . . . . . . . 14
1306, 7, 57odmulgid 16449 . . . . . . . . . . . . . . 15 .g
13175, 76, 67, 69, 130syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . . 14 .g
132129, 131mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13 .g
133 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15 .g .g
134133breq1d 4463 . . . . . . . . . . . . . 14 .g .g
135134, 2elrab2 3268 . . . . . . . . . . . . 13 .g .g .g
136119, 132, 135sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12 .g
13777, 52lsmelvali 16543 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp SubGrp .g .g .g .g
13881, 82, 117, 136, 137syl22anc 1229 . . . . . . . . . . 11 .g .g
13980, 138eqeltrd 2555 . . . . . . . . . 10 .g
140 oveq1 6302 . . . . . . . . . . 11 .g .g
141140eleq1d 2536 . . . . . . . . . 10 .g .g
142139, 141syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9 .g
14364, 142sylbid 215 . . . . . . . 8 .g
144143rexlimdvva 2966 . . . . . . 7 .g
14562, 144mpd 15 . . . . . 6 .g
14659, 145eqeltrrd 2556 . . . . 5
147146ex 434 . . . 4
148147ssrdv 3515 . . 3
14956, 148eqssd 3526 . 2
15051, 149jca 532 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  wrex 2818  crab 2821  cvv 3118   cin 3480   wss 3481  csn 4033   class class class wbr 4453  cfv 5594  (class class class)co 6295  cfn 7528  cc 9502  c1 9505   caddc 9507   cmul 9509  cn 10548  cn0 10807  cz 10876  chash 12385   cdivides 13864   cgcd 14020  cbs 14507   cplusg 14572  c0g 14712  cgrp 15925  .gcmg 15928  SubGrpcsubg 16067  cod 16422  clsm 16527  cabl 16672 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-disj 4424  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-ec 7325  df-qs 7329  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-sum 13489  df-dvds 13865  df-gcd 14021  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-subg 16070  df-eqg 16072  df-cntz 16227  df-od 16426  df-lsm 16529  df-cmn 16673  df-abl 16674 This theorem is referenced by:  ablfacrp2  16990  ablfac1b  16993
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