Theorem ablfaclem3 16576

Description: Lemma for ablfac 16577. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfac.b	|- B = ( Base ` G )
ablfac.c	|- C = { r e. (SubGrp ` G ) | ( G ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) }
ablfac.1	|- ( ph -> G e. Abel )
ablfac.2	|- ( ph -> B e. Fin )
ablfac.o	|- O = ( od ` G )
ablfac.a	|- A = { w e. Prime | w || ( # ` B ) }
ablfac.s	|- S = ( p e. A |-> { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } )
ablfac.w	|- W = ( g e. (SubGrp ` G ) |-> { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = g ) } )

Assertion

Ref	Expression
ablfaclem3	|- ( ph -> ( W ` B ) =/= (/) )

Distinct variable groups:   s, p, x, A   g, r, s, S   g, p, w, x, B, r, s   O, p, x   C, g, p, s, w, x   W, p, w, x   ph, p, s, w, x   g, G, p, r, s, w, x

Allowed substitution hints:   ph( g, r)   A( w, g, r)   C( r)   S( x, w, p)   O( w, g, s, r)   W( g, s, r)

Proof of Theorem ablfaclem3

Dummy variables a b c f h q t y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 11787	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 ... ( # ` B ) ) e. Fin )
2		ablfac.a	. . . . 5 |- A = { w e. Prime | w || ( # ` B ) }
3		prmnn 13758	. . . . . . . 8 |- ( w e. Prime -> w e. NN )
4	3	3ad2ant2 1010	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. Prime /\ w || ( # ` B ) ) -> w e. NN )
5		prmz 13759	. . . . . . . . 9 |- ( w e. Prime -> w e. ZZ )
6		ablfac.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G e. Abel )
7		ablgrp 16273	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
8		ablfac.b	. . . . . . . . . . . 12 |- B = ( Base ` G )
9	8	grpbn0 15558	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. Grp -> B =/= (/) )
10	6, 7, 9	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B =/= (/) )
11		ablfac.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. Fin )
12		hashnncl 12126	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. Fin -> ( ( # ` B ) e. NN <-> B =/= (/) ) )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( # ` B ) e. NN <-> B =/= (/) ) )
14	10, 13	mpbird 232	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( # ` B ) e. NN )
15		dvdsle 13570	. . . . . . . . 9 |- ( ( w e. ZZ /\ ( # ` B ) e. NN ) -> ( w || ( # ` B ) -> w <_ ( # ` B ) ) )
16	5, 14, 15	syl2anr 478	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. Prime ) -> ( w || ( # ` B ) -> w <_ ( # ` B ) ) )
17	16	3impia 1184	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. Prime /\ w || ( # ` B ) ) -> w <_ ( # ` B ) )
18	14	nnzd 10738	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( # ` B ) e. ZZ )
19	18	3ad2ant1 1009	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. Prime /\ w || ( # ` B ) ) -> ( # ` B ) e. ZZ )
20		fznn 11518	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` B ) e. ZZ -> ( w e. ( 1 ... ( # ` B ) ) <-> ( w e. NN /\ w <_ ( # ` B ) ) ) )
21	19, 20	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. Prime /\ w || ( # ` B ) ) -> ( w e. ( 1 ... ( # ` B ) ) <-> ( w e. NN /\ w <_ ( # ` B ) ) ) )
22	4, 17, 21	mpbir2and 913	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. Prime /\ w || ( # ` B ) ) -> w e. ( 1 ... ( # ` B ) ) )
23	22	rabssdv 3427	. . . . 5 |- ( ph -> { w e. Prime | w || ( # ` B ) } C_ ( 1 ... ( # ` B ) ) )
24	2, 23	syl5eqss 3395	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ( 1 ... ( # ` B ) ) )
25		ssfi 7525	. . . 4 |- ( ( ( 1 ... ( # ` B ) ) e. Fin /\ A C_ ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> A e. Fin )
26	1, 24, 25	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
27		dfin5 3331	. . . . . . . 8 |- (Word C i^i ( W ` ( S ` q ) ) ) = { y e. Word C | y e. ( W ` ( S ` q ) ) }
28		ablfac.o	. . . . . . . . . . . . . 14 |- O = ( od ` G )
29		ablfac.s	. . . . . . . . . . . . . 14 |- S = ( p e. A |-> { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } )
30		ssrab2 3432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { w e. Prime | w || ( # ` B ) } C_ Prime
31	2, 30	eqsstri 3381	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A C_ Prime
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A C_ Prime )
33	8, 28, 29, 6, 11, 32	ablfac1b 16559	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G dom DProd S )
34		fvex 5696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Base ` G ) e. _V
35	8, 34	eqeltri 2508	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- B e. _V
36	35	rabex 4438	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } e. _V
37	36, 29	dmmpti 5535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom S = A
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> dom S = A )
39	33, 38	dprdf2 16479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S : A --> (SubGrp ` G ) )
40	39	ffvelrnda 5838	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( S ` q ) e. (SubGrp ` G ) )
41		ablfac.c	. . . . . . . . . . . 12 |- C = { r e. (SubGrp ` G ) | ( G ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) }
42		ablfac.w	. . . . . . . . . . . 12 |- W = ( g e. (SubGrp ` G ) |-> { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = g ) } )
43	8, 41, 6, 11, 28, 2, 29, 42	ablfaclem1 16574	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S ` q ) e. (SubGrp ` G ) -> ( W ` ( S ` q ) ) = { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` q ) ) } )
44	40, 43	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( W ` ( S ` q ) ) = { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` q ) ) } )
45		ssrab2 3432	. . . . . . . . . 10 |- { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` q ) ) } C_ Word C
46	44, 45	syl6eqss 3401	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( W ` ( S ` q ) ) C_ Word C )
47		dfss1 3550	. . . . . . . . 9 |- ( ( W ` ( S ` q ) ) C_ Word C <-> (Word C i^i ( W ` ( S ` q ) ) ) = ( W ` ( S ` q ) ) )
48	46, 47	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> (Word C i^i ( W ` ( S ` q ) ) ) = ( W ` ( S ` q ) ) )
49	27, 48	syl5eqr 2484	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> { y e. Word C | y e. ( W ` ( S ` q ) ) } = ( W ` ( S ` q ) ) )
50	49, 44	eqtrd 2470	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> { y e. Word C | y e. ( W ` ( S ` q ) ) } = { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` q ) ) } )
51		eqid 2438	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) = ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) )
52		eqid 2438	. . . . . . . . 9 |- { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } = { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) }
53	6	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> G e. Abel )
54		eqid 2438	. . . . . . . . . . 11 |- ( G ↾s ( S ` q ) ) = ( G ↾s ( S ` q ) )
55	54	subgabl 16311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Abel /\ ( S ` q ) e. (SubGrp ` G ) ) -> ( G ↾s ( S ` q ) ) e. Abel )
56	53, 40, 55	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( G ↾s ( S ` q ) ) e. Abel )
57	32	sselda 3351	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> q e. Prime )
58	54	subgbas 15676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S ` q ) e. (SubGrp ` G ) -> ( S ` q ) = ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) )
59	40, 58	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( S ` q ) = ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) )
60	59	fveq2d 5690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( S ` q ) ) = ( # ` ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) )
61	8, 28, 29, 6, 11, 32	ablfac1a 16558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( S ` q ) ) = ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) )
62	60, 61	eqtr3d 2472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) = ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) )
63	62	oveq2d 6102	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q pCnt ( # ` ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) ) = ( q pCnt ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) ) )
64	14	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` B ) e. NN )
65	57, 64	pccld 13909	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q pCnt ( # ` B ) ) e. NN0 )
66	65	nn0zd 10737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q pCnt ( # ` B ) ) e. ZZ )
67		pcid 13931	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( q e. Prime /\ ( q pCnt ( # ` B ) ) e. ZZ ) -> ( q pCnt ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) ) = ( q pCnt ( # ` B ) ) )
68	57, 66, 67	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q pCnt ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) ) = ( q pCnt ( # ` B ) ) )
69	63, 68	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q pCnt ( # ` ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) ) = ( q pCnt ( # ` B ) ) )
70	69	oveq2d 6102	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q ^ ( q pCnt ( # ` ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) ) ) = ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) )
71	62, 70	eqtr4d 2473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) = ( q ^ ( q pCnt ( # ` ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) ) ) )
72	54	subggrp 15675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S ` q ) e. (SubGrp ` G ) -> ( G ↾s ( S ` q ) ) e. Grp )
73	40, 72	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( G ↾s ( S ` q ) ) e. Grp )
74	11	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> B e. Fin )
75	8	subgss 15673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S ` q ) e. (SubGrp ` G ) -> ( S ` q ) C_ B )
76	40, 75	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( S ` q ) C_ B )
77		ssfi 7525	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. Fin /\ ( S ` q ) C_ B ) -> ( S ` q ) e. Fin )
78	74, 76, 77	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( S ` q ) e. Fin )
79	59, 78	eqeltrrd 2513	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) e. Fin )
80	51	pgpfi2 16096	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G ↾s ( S ` q ) ) e. Grp /\ ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) e. Fin ) -> ( q pGrp ( G ↾s ( S ` q ) ) <-> ( q e. Prime /\ ( # ` ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) = ( q ^ ( q pCnt ( # ` ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) ) ) ) ) )
81	73, 79, 80	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q pGrp ( G ↾s ( S ` q ) ) <-> ( q e. Prime /\ ( # ` ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) = ( q ^ ( q pCnt ( # ` ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) ) ) ) ) )
82	57, 71, 81	mpbir2and 913	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> q pGrp ( G ↾s ( S ` q ) ) )
83	51, 52, 56, 82, 79	pgpfac 16573	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> E. s e. Word { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } ( ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s /\ ( ( G ↾s ( S ` q ) ) DProd s ) = ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) )
84		ssrab2 3432	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } C_ (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) )
85		sswrd 12234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } C_ (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) -> Word { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } C_ Word (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) )
86	84, 85	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- Word { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } C_ Word (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) )
87	86	sseli 3347	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. Word { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } -> s e. Word (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) )
88	40	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ s e. Word (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) -> ( S ` q ) e. (SubGrp ` G ) )
89	88	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ s e. Word (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) /\ ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s ) -> ( S ` q ) e. (SubGrp ` G ) )
90	54	subgdmdprd 16519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( S ` q ) e. (SubGrp ` G ) -> ( ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s <-> ( G dom DProd s /\ ran s C_ ~P ( S ` q ) ) ) )
91	88, 90	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ s e. Word (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) -> ( ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s <-> ( G dom DProd s /\ ran s C_ ~P ( S ` q ) ) ) )
92	91	simprbda 623	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ s e. Word (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) /\ ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s ) -> G dom DProd s )
93	91	simplbda 624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ s e. Word (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) /\ ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s ) -> ran s C_ ~P ( S ` q ) )
94	54, 89, 92, 93	subgdprd 16520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ s e. Word (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) /\ ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s ) -> ( ( G ↾s ( S ` q ) ) DProd s ) = ( G DProd s ) )
95	59	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ s e. Word (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) /\ ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s ) -> ( S ` q ) = ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) )
96	95	eqcomd 2443	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ s e. Word (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) /\ ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s ) -> ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) = ( S ` q ) )
97	94, 96	eqeq12d 2452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ s e. Word (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) /\ ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s ) -> ( ( ( G ↾s ( S ` q ) ) DProd s ) = ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) <-> ( G DProd s ) = ( S ` q ) ) )
98	97	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ s e. Word (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) /\ ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s ) -> ( ( ( G ↾s ( S ` q ) ) DProd s ) = ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) -> ( G DProd s ) = ( S ` q ) ) )
99	98, 92	jctild 543	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ s e. Word (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) /\ ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s ) -> ( ( ( G ↾s ( S ` q ) ) DProd s ) = ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) -> ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` q ) ) ) )
100	99	expimpd 603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ s e. Word (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) -> ( ( ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s /\ ( ( G ↾s ( S ` q ) ) DProd s ) = ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) -> ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` q ) ) ) )
101	87, 100	sylan2 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ s e. Word { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } ) -> ( ( ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s /\ ( ( G ↾s ( S ` q ) ) DProd s ) = ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) -> ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` q ) ) ) )
102		oveq2 6094	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r = y -> ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) = ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s y ) )
103	102	eleq1d 2504	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r = y -> ( ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) <-> ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s y ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) ) )
104	103	cbvrabv 2966	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } = { y e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s y ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) }
105	54	subsubg 15695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( S ` q ) e. (SubGrp ` G ) -> ( y e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) <-> ( y e. (SubGrp ` G ) /\ y C_ ( S ` q ) ) ) )
106	40, 105	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( y e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) <-> ( y e. (SubGrp ` G ) /\ y C_ ( S ` q ) ) ) )
107	106	simprbda 623	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ y e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) -> y e. (SubGrp ` G ) )
108	107	3adant3 1008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ y e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) /\ ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s y ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) ) -> y e. (SubGrp ` G ) )
109	40	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ y e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) /\ ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s y ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) ) -> ( S ` q ) e. (SubGrp ` G ) )
110	106	simplbda 624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ y e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) -> y C_ ( S ` q ) )
111	110	3adant3 1008	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ y e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) /\ ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s y ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) ) -> y C_ ( S ` q ) )
112		ressabs 14228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( S ` q ) e. (SubGrp ` G ) /\ y C_ ( S ` q ) ) -> ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s y ) = ( G ↾s y ) )
113	109, 111, 112	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ y e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) /\ ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s y ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) ) -> ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s y ) = ( G ↾s y ) )
114		simp3 990	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ y e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) /\ ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s y ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) ) -> ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s y ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) )
115	113, 114	eqeltrrd 2513	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ y e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) /\ ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s y ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) ) -> ( G ↾s y ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) )
116		oveq2 6094	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( r = y -> ( G ↾s r ) = ( G ↾s y ) )
117	116	eleq1d 2504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r = y -> ( ( G ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) <-> ( G ↾s y ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) ) )
118	117, 41	elrab2 3114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. C <-> ( y e. (SubGrp ` G ) /\ ( G ↾s y ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) ) )
119	108, 115, 118	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ y e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) /\ ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s y ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) ) -> y e. C )
120	119	rabssdv 3427	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> { y e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s y ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } C_ C )
121	104, 120	syl5eqss 3395	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } C_ C )
122		sswrd 12234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } C_ C -> Word { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } C_ Word C )
123	121, 122	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> Word { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } C_ Word C )
124	123	sselda 3351	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ s e. Word { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } ) -> s e. Word C )
125	101, 124	jctild 543	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ s e. Word { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } ) -> ( ( ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s /\ ( ( G ↾s ( S ` q ) ) DProd s ) = ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) -> ( s e. Word C /\ ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` q ) ) ) ) )
126	125	expimpd 603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( ( s e. Word { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } /\ ( ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s /\ ( ( G ↾s ( S ` q ) ) DProd s ) = ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) ) -> ( s e. Word C /\ ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` q ) ) ) ) )
127	126	reximdv2 2820	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( E. s e. Word { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } ( ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s /\ ( ( G ↾s ( S ` q ) ) DProd s ) = ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) -> E. s e. Word C ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` q ) ) ) )
128	83, 127	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> E. s e. Word C ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` q ) ) )
129		rabn0 3652	. . . . . . 7 |- ( { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` q ) ) } =/= (/) <-> E. s e. Word C ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` q ) ) )
130	128, 129	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` q ) ) } =/= (/) )
131	50, 130	eqnetrd 2621	. . . . 5 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> { y e. Word C | y e. ( W ` ( S ` q ) ) } =/= (/) )
132		rabn0 3652	. . . . 5 |- ( { y e. Word C | y e. ( W ` ( S ` q ) ) } =/= (/) <-> E. y e. Word C y e. ( W ` ( S ` q ) ) )
133	131, 132	sylib 196	. . . 4 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> E. y e. Word C y e. ( W ` ( S ` q ) ) )
134	133	ralrimiva 2794	. . 3 |- ( ph -> A. q e. A E. y e. Word C y e. ( W ` ( S ` q ) ) )
135		eleq1 2498	. . . 4 |- ( y = ( f ` q ) -> ( y e. ( W ` ( S ` q ) ) <-> ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) )
136	135	ac6sfi 7548	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ A. q e. A E. y e. Word C y e. ( W ` ( S ` q ) ) ) -> E. f ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) )
137	26, 134, 136	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> E. f ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) )
138		sneq 3882	. . . . . . . . 9 |- ( q = y -> { q } = { y } )
139		fveq2 5686	. . . . . . . . . 10 |- ( q = y -> ( f ` q ) = ( f ` y ) )
140	139	dmeqd 5037	. . . . . . . . 9 |- ( q = y -> dom ( f ` q ) = dom ( f ` y ) )
141	138, 140	xpeq12d 4860	. . . . . . . 8 |- ( q = y -> ( { q } X. dom ( f ` q ) ) = ( { y } X. dom ( f ` y ) ) )
142	141	cbviunv 4204	. . . . . . 7 |- U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) = U_ y e. A ( { y } X. dom ( f ` y ) )
143	26	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) ) -> A e. Fin )
144		snfi 7382	. . . . . . . . . 10 |- { y } e. Fin
145		simprl 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) ) -> f : A -->Word C )
146	145	ffvelrnda 5838	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) ) /\ y e. A ) -> ( f ` y ) e. Word C )
147		wrdf 12232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` y ) e. Word C -> ( f ` y ) : ( 0..^ ( # ` ( f ` y ) ) ) --> C )
148		fdm 5558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` y ) : ( 0..^ ( # ` ( f ` y ) ) ) --> C -> dom ( f ` y ) = ( 0..^ ( # ` ( f ` y ) ) ) )
149	146, 147, 148	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) ) /\ y e. A ) -> dom ( f ` y ) = ( 0..^ ( # ` ( f ` y ) ) ) )
150		fzofi 11788	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0..^ ( # ` ( f ` y ) ) ) e. Fin
151	149, 150	syl6eqel 2526	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) ) /\ y e. A ) -> dom ( f ` y ) e. Fin )
152		xpfi 7575	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { y } e. Fin /\ dom ( f ` y ) e. Fin ) -> ( { y } X. dom ( f ` y ) ) e. Fin )
153	144, 151, 152	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) ) /\ y e. A ) -> ( { y } X. dom ( f ` y ) ) e. Fin )
154	153	ralrimiva 2794	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) ) -> A. y e. A ( { y } X. dom ( f ` y ) ) e. Fin )
155		iunfi 7591	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Fin /\ A. y e. A ( { y } X. dom ( f ` y ) ) e. Fin ) -> U_ y e. A ( { y } X. dom ( f ` y ) ) e. Fin )
156	143, 154, 155	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) ) -> U_ y e. A ( { y } X. dom ( f ` y ) ) e. Fin )
157	142, 156	syl5eqel 2522	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) ) -> U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) e. Fin )
158		hashcl 12118	. . . . . 6 |- ( U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) e. Fin -> ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) e. NN0 )
159		hashfzo0 12183	. . . . . 6 |- ( ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) e. NN0 -> ( # ` ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) ) = ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) )
160	157, 158, 159	3syl 20	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) ) -> ( # ` ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) ) = ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) )
161		fzofi 11788	. . . . . 6 |- ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) e. Fin
162		hashen 12110	. . . . . 6 |- ( ( ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) e. Fin /\ U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) e. Fin ) -> ( ( # ` ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) ) = ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) <-> ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) ~~ U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) )
163	161, 157, 162	sylancr 663	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) ) -> ( ( # ` ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) ) = ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) <-> ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) ~~ U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) )
164	160, 163	mpbid 210	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) ) -> ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) ~~ U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) )
165		bren 7311	. . . 4 |- ( ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) ~~ U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) <-> E. h h : ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -1-1-onto-> U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) )
166	164, 165	sylib 196	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) ) -> E. h h : ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -1-1-onto-> U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) )
167	6	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) /\ h : ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -1-1-onto-> U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -> G e. Abel )
168	11	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) /\ h : ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -1-1-onto-> U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -> B e. Fin )
169		breq1 4290	. . . . . . . 8 |- ( w = a -> ( w || ( # ` B ) <-> a || ( # ` B ) ) )
170	169	cbvrabv 2966	. . . . . . 7 |- { w e. Prime | w || ( # ` B ) } = { a e. Prime | a || ( # ` B ) }
171	2, 170	eqtri 2458	. . . . . 6 |- A = { a e. Prime | a || ( # ` B ) }
172		fveq2 5686	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = c -> ( O ` x ) = ( O ` c ) )
173	172	breq1d 4297	. . . . . . . . . 10 |- ( x = c -> ( ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) <-> ( O ` c ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) ) )
174	173	cbvrabv 2966	. . . . . . . . 9 |- { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } = { c e. B | ( O ` c ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) }
175		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p = b -> p = b )
176		oveq1 6093	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p = b -> ( p pCnt ( # ` B ) ) = ( b pCnt ( # ` B ) ) )
177	175, 176	oveq12d 6104	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = b -> ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) = ( b ^ ( b pCnt ( # ` B ) ) ) )
178	177	breq2d 4299	. . . . . . . . . 10 |- ( p = b -> ( ( O ` c ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) <-> ( O ` c ) || ( b ^ ( b pCnt ( # ` B ) ) ) ) )
179	178	rabbidv 2959	. . . . . . . . 9 |- ( p = b -> { c e. B | ( O ` c ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } = { c e. B | ( O ` c ) || ( b ^ ( b pCnt ( # ` B ) ) ) } )
180	174, 179	syl5eq 2482	. . . . . . . 8 |- ( p = b -> { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } = { c e. B | ( O ` c ) || ( b ^ ( b pCnt ( # ` B ) ) ) } )
181	180	cbvmptv 4378	. . . . . . 7 |- ( p e. A |-> { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } ) = ( b e. A |-> { c e. B | ( O ` c ) || ( b ^ ( b pCnt ( # ` B ) ) ) } )
182	29, 181	eqtri 2458	. . . . . 6 |- S = ( b e. A |-> { c e. B | ( O ` c ) || ( b ^ ( b pCnt ( # ` B ) ) ) } )
183		breq2 4291	. . . . . . . . . 10 |- ( s = t -> ( G dom DProd s <-> G dom DProd t ) )
184		oveq2 6094	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = t -> ( G DProd s ) = ( G DProd t ) )
185	184	eqeq1d 2446	. . . . . . . . . 10 |- ( s = t -> ( ( G DProd s ) = g <-> ( G DProd t ) = g ) )
186	183, 185	anbi12d 710	. . . . . . . . 9 |- ( s = t -> ( ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = g ) <-> ( G dom DProd t /\ ( G DProd t ) = g ) ) )
187	186	cbvrabv 2966	. . . . . . . 8 |- { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = g ) } = { t e. Word C | ( G dom DProd t /\ ( G DProd t ) = g ) }
188	187	mpteq2i 4370	. . . . . . 7 |- ( g e. (SubGrp ` G ) |-> { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = g ) } ) = ( g e. (SubGrp ` G ) |-> { t e. Word C | ( G dom DProd t /\ ( G DProd t ) = g ) } )
189	42, 188	eqtri 2458	. . . . . 6 |- W = ( g e. (SubGrp ` G ) |-> { t e. Word C | ( G dom DProd t /\ ( G DProd t ) = g ) } )
190		simprll 761	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) /\ h : ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -1-1-onto-> U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -> f : A -->Word C )
191		simprlr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) /\ h : ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -1-1-onto-> U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -> A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) )
192		fveq2 5686	. . . . . . . . . 10 |- ( q = y -> ( S ` q ) = ( S ` y ) )
193	192	fveq2d 5690	. . . . . . . . 9 |- ( q = y -> ( W ` ( S ` q ) ) = ( W ` ( S ` y ) ) )
194	139, 193	eleq12d 2506	. . . . . . . 8 |- ( q = y -> ( ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) <-> ( f ` y ) e. ( W ` ( S ` y ) ) ) )
195	194	cbvralv 2942	. . . . . . 7 |- ( A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) <-> A. y e. A ( f ` y ) e. ( W ` ( S ` y ) ) )
196	191, 195	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) /\ h : ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -1-1-onto-> U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -> A. y e. A ( f ` y ) e. ( W ` ( S ` y ) ) )
197		simprr 756	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) /\ h : ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -1-1-onto-> U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -> h : ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -1-1-onto-> U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) )
198	8, 41, 167, 168, 28, 171, 182, 189, 190, 196, 142, 197	ablfaclem2 16575	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) /\ h : ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -1-1-onto-> U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -> ( W ` B ) =/= (/) )
199	198	expr 615	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) ) -> ( h : ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -1-1-onto-> U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) -> ( W ` B ) =/= (/) ) )
200	199	exlimdv 1690	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) ) -> ( E. h h : ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -1-1-onto-> U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) -> ( W ` B ) =/= (/) ) )
201	166, 200	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) ) -> ( W ` B ) =/= (/) )
202	137, 201	exlimddv 1692	1 |- ( ph -> ( W ` B ) =/= (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711   {crab 2714   _Vcvv 2967   i^i cin 3322   C_ wss 3323   (/)c0 3632   ~Pcpw 3855   {csn 3872   U_ciun 4166   class class class wbr 4287   e. cmpt 4345   X. cxp 4833   dom cdm 4835   ran crn 4836   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   ~~ cen 7299   Fincfn 7302   0cc0 9274   1c1 9275   <_ cle 9411   NNcn 10314   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ...cfz 11429  ..^cfzo 11540   ^cexp 11857   #chash 12095  Word cword 12213   || cdivides 13527   Primecprime 13755   pCnt cpc 13895   Basecbs 14166   ↾_s cress 14167   Grpcgrp 15402  SubGrpcsubg 15666   odcod 16019   pGrp cpgp 16021   Abelcabel 16269  CycGrpccyg 16345   DProd cdprd 16463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-disj 4258  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-rpss 6355  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-tpos 6740  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-omul 6917  df-er 7093  df-ec 7095  df-qs 7099  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-acn 8104  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-word 12221  df-concat 12223  df-s1 12224  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-sum 13156  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-prm 13756  df-pc 13896  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-mhm 15456  df-submnd 15457  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-mulg 15539  df-subg 15669  df-eqg 15671  df-ghm 15736  df-gim 15778  df-ga 15799  df-cntz 15826  df-oppg 15852  df-od 16023  df-gex 16024  df-pgp 16025  df-lsm 16126  df-pj1 16127  df-cmn 16270  df-abl 16271  df-cyg 16346  df-dprd 16465

This theorem is referenced by:  ablfac  16577