Theorem ablfaclem3 15600

Description: Lemma for ablfac 15601. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfac.b	|- B = ( Base ` G )
ablfac.c	|- C = { r e. (SubGrp ` G ) | ( G ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) }
ablfac.1	|- ( ph -> G e. Abel )
ablfac.2	|- ( ph -> B e. Fin )
ablfac.o	|- O = ( od ` G )
ablfac.a	|- A = { w e. Prime | w || ( # ` B ) }
ablfac.s	|- S = ( p e. A |-> { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } )
ablfac.w	|- W = ( g e. (SubGrp ` G ) |-> { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = g ) } )

Assertion

Ref	Expression
ablfaclem3	|- ( ph -> ( W ` B ) =/= (/) )

Distinct variable groups:   s, p, x, A   g, r, s, S   g, p, w, x, B, r, s   O, p, x   C, g, p, s, w, x   W, p, w, x   ph, p, s, w, x   g, G, p, r, s, w, x

Allowed substitution hints:   ph( g, r)   A( w, g, r)   C( r)   S( x, w, p)   O( w, g, s, r)   W( g, s, r)

Proof of Theorem ablfaclem3

Dummy variables a b c f h q t y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 11267	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 ... ( # ` B ) ) e. Fin )
2		ablfac.a	. . . . 5 |- A = { w e. Prime | w || ( # ` B ) }
3		prmnn 13037	. . . . . . . 8 |- ( w e. Prime -> w e. NN )
4	3	3ad2ant2 979	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. Prime /\ w || ( # ` B ) ) -> w e. NN )
5		prmz 13038	. . . . . . . . 9 |- ( w e. Prime -> w e. ZZ )
6		ablfac.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G e. Abel )
7		ablgrp 15372	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
8		ablfac.b	. . . . . . . . . . . 12 |- B = ( Base ` G )
9	8	grpbn0 14789	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. Grp -> B =/= (/) )
10	6, 7, 9	3syl 19	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B =/= (/) )
11		ablfac.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. Fin )
12		hashnncl 11600	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. Fin -> ( ( # ` B ) e. NN <-> B =/= (/) ) )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( # ` B ) e. NN <-> B =/= (/) ) )
14	10, 13	mpbird 224	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( # ` B ) e. NN )
15		dvdsle 12850	. . . . . . . . 9 |- ( ( w e. ZZ /\ ( # ` B ) e. NN ) -> ( w || ( # ` B ) -> w <_ ( # ` B ) ) )
16	5, 14, 15	syl2anr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. Prime ) -> ( w || ( # ` B ) -> w <_ ( # ` B ) ) )
17	16	3impia 1150	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. Prime /\ w || ( # ` B ) ) -> w <_ ( # ` B ) )
18	14	nnzd 10330	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( # ` B ) e. ZZ )
19	18	3ad2ant1 978	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. Prime /\ w || ( # ` B ) ) -> ( # ` B ) e. ZZ )
20		fznn 11070	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` B ) e. ZZ -> ( w e. ( 1 ... ( # ` B ) ) <-> ( w e. NN /\ w <_ ( # ` B ) ) ) )
21	19, 20	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. Prime /\ w || ( # ` B ) ) -> ( w e. ( 1 ... ( # ` B ) ) <-> ( w e. NN /\ w <_ ( # ` B ) ) ) )
22	4, 17, 21	mpbir2and 889	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. Prime /\ w || ( # ` B ) ) -> w e. ( 1 ... ( # ` B ) ) )
23	22	rabssdv 3383	. . . . 5 |- ( ph -> { w e. Prime | w || ( # ` B ) } C_ ( 1 ... ( # ` B ) ) )
24	2, 23	syl5eqss 3352	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ( 1 ... ( # ` B ) ) )
25		ssfi 7288	. . . 4 |- ( ( ( 1 ... ( # ` B ) ) e. Fin /\ A C_ ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> A e. Fin )
26	1, 24, 25	syl2anc 643	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
27		dfin5 3288	. . . . . . . 8 |- (Word C i^i ( W ` ( S ` q ) ) ) = { y e. Word C | y e. ( W ` ( S ` q ) ) }
28		ablfac.o	. . . . . . . . . . . . . 14 |- O = ( od ` G )
29		ablfac.s	. . . . . . . . . . . . . 14 |- S = ( p e. A |-> { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } )
30		ssrab2 3388	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { w e. Prime | w || ( # ` B ) } C_ Prime
31	2, 30	eqsstri 3338	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A C_ Prime
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A C_ Prime )
33	8, 28, 29, 6, 11, 32	ablfac1b 15583	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G dom DProd S )
34		fvex 5701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Base ` G ) e. _V
35	8, 34	eqeltri 2474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- B e. _V
36	35	rabex 4314	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } e. _V
37	36, 29	dmmpti 5533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom S = A
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> dom S = A )
39	33, 38	dprdf2 15520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S : A --> (SubGrp ` G ) )
40	39	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( S ` q ) e. (SubGrp ` G ) )
41		ablfac.c	. . . . . . . . . . . 12 |- C = { r e. (SubGrp ` G ) | ( G ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) }
42		ablfac.w	. . . . . . . . . . . 12 |- W = ( g e. (SubGrp ` G ) |-> { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = g ) } )
43	8, 41, 6, 11, 28, 2, 29, 42	ablfaclem1 15598	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S ` q ) e. (SubGrp ` G ) -> ( W ` ( S ` q ) ) = { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` q ) ) } )
44	40, 43	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( W ` ( S ` q ) ) = { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` q ) ) } )
45		ssrab2 3388	. . . . . . . . . 10 |- { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` q ) ) } C_ Word C
46	44, 45	syl6eqss 3358	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( W ` ( S ` q ) ) C_ Word C )
47		dfss1 3505	. . . . . . . . 9 |- ( ( W ` ( S ` q ) ) C_ Word C <-> (Word C i^i ( W ` ( S ` q ) ) ) = ( W ` ( S ` q ) ) )
48	46, 47	sylib 189	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> (Word C i^i ( W ` ( S ` q ) ) ) = ( W ` ( S ` q ) ) )
49	27, 48	syl5eqr 2450	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> { y e. Word C | y e. ( W ` ( S ` q ) ) } = ( W ` ( S ` q ) ) )
50	49, 44	eqtrd 2436	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> { y e. Word C | y e. ( W ` ( S ` q ) ) } = { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` q ) ) } )
51		eqid 2404	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) = ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) )
52		eqid 2404	. . . . . . . . 9 |- { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } = { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) }
53	6	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> G e. Abel )
54		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11 |- ( G ↾s ( S ` q ) ) = ( G ↾s ( S ` q ) )
55	54	subgabl 15410	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Abel /\ ( S ` q ) e. (SubGrp ` G ) ) -> ( G ↾s ( S ` q ) ) e. Abel )
56	53, 40, 55	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( G ↾s ( S ` q ) ) e. Abel )
57	32	sselda 3308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> q e. Prime )
58	54	subgbas 14903	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S ` q ) e. (SubGrp ` G ) -> ( S ` q ) = ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) )
59	40, 58	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( S ` q ) = ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) )
60	59	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( S ` q ) ) = ( # ` ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) )
61	8, 28, 29, 6, 11, 32	ablfac1a 15582	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( S ` q ) ) = ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) )
62	60, 61	eqtr3d 2438	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) = ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) )
63	62	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q pCnt ( # ` ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) ) = ( q pCnt ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) ) )
64	14	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` B ) e. NN )
65	57, 64	pccld 13179	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q pCnt ( # ` B ) ) e. NN0 )
66	65	nn0zd 10329	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q pCnt ( # ` B ) ) e. ZZ )
67		pcid 13201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( q e. Prime /\ ( q pCnt ( # ` B ) ) e. ZZ ) -> ( q pCnt ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) ) = ( q pCnt ( # ` B ) ) )
68	57, 66, 67	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q pCnt ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) ) = ( q pCnt ( # ` B ) ) )
69	63, 68	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q pCnt ( # ` ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) ) = ( q pCnt ( # ` B ) ) )
70	69	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q ^ ( q pCnt ( # ` ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) ) ) = ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) )
71	62, 70	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) = ( q ^ ( q pCnt ( # ` ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) ) ) )
72	54	subggrp 14902	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S ` q ) e. (SubGrp ` G ) -> ( G ↾s ( S ` q ) ) e. Grp )
73	40, 72	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( G ↾s ( S ` q ) ) e. Grp )
74	11	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> B e. Fin )
75	8	subgss 14900	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S ` q ) e. (SubGrp ` G ) -> ( S ` q ) C_ B )
76	40, 75	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( S ` q ) C_ B )
77		ssfi 7288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. Fin /\ ( S ` q ) C_ B ) -> ( S ` q ) e. Fin )
78	74, 76, 77	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( S ` q ) e. Fin )
79	59, 78	eqeltrrd 2479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) e. Fin )
80	51	pgpfi2 15195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G ↾s ( S ` q ) ) e. Grp /\ ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) e. Fin ) -> ( q pGrp ( G ↾s ( S ` q ) ) <-> ( q e. Prime /\ ( # ` ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) = ( q ^ ( q pCnt ( # ` ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) ) ) ) ) )
81	73, 79, 80	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q pGrp ( G ↾s ( S ` q ) ) <-> ( q e. Prime /\ ( # ` ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) = ( q ^ ( q pCnt ( # ` ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) ) ) ) ) )
82	57, 71, 81	mpbir2and 889	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> q pGrp ( G ↾s ( S ` q ) ) )
83	51, 52, 56, 82, 79	pgpfac 15597	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> E. s e. Word { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } ( ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s /\ ( ( G ↾s ( S ` q ) ) DProd s ) = ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) )
84		ssrab2 3388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } C_ (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) )
85		sswrd 11692	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } C_ (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) -> Word { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } C_ Word (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) )
86	84, 85	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . 13 |- Word { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } C_ Word (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) )
87	86	sseli 3304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. Word { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } -> s e. Word (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) )
88	40	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ s e. Word (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) -> ( S ` q ) e. (SubGrp ` G ) )
89	88	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ s e. Word (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) /\ ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s ) -> ( S ` q ) e. (SubGrp ` G ) )
90	54	subgdmdprd 15547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( S ` q ) e. (SubGrp ` G ) -> ( ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s <-> ( G dom DProd s /\ ran s C_ ~P ( S ` q ) ) ) )
91	88, 90	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ s e. Word (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) -> ( ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s <-> ( G dom DProd s /\ ran s C_ ~P ( S ` q ) ) ) )
92	91	simprbda 607	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ s e. Word (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) /\ ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s ) -> G dom DProd s )
93	91	simplbda 608	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ s e. Word (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) /\ ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s ) -> ran s C_ ~P ( S ` q ) )
94	54, 89, 92, 93	subgdprd 15548	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ s e. Word (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) /\ ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s ) -> ( ( G ↾s ( S ` q ) ) DProd s ) = ( G DProd s ) )
95	59	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ s e. Word (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) /\ ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s ) -> ( S ` q ) = ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) )
96	95	eqcomd 2409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ s e. Word (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) /\ ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s ) -> ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) = ( S ` q ) )
97	94, 96	eqeq12d 2418	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ s e. Word (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) /\ ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s ) -> ( ( ( G ↾s ( S ` q ) ) DProd s ) = ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) <-> ( G DProd s ) = ( S ` q ) ) )
98	97	biimpd 199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ s e. Word (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) /\ ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s ) -> ( ( ( G ↾s ( S ` q ) ) DProd s ) = ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) -> ( G DProd s ) = ( S ` q ) ) )
99	98, 92	jctild 528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ s e. Word (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) /\ ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s ) -> ( ( ( G ↾s ( S ` q ) ) DProd s ) = ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) -> ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` q ) ) ) )
100	99	expimpd 587	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ s e. Word (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) -> ( ( ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s /\ ( ( G ↾s ( S ` q ) ) DProd s ) = ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) -> ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` q ) ) ) )
101	87, 100	sylan2 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ s e. Word { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } ) -> ( ( ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s /\ ( ( G ↾s ( S ` q ) ) DProd s ) = ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) -> ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` q ) ) ) )
102		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r = y -> ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) = ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s y ) )
103	102	eleq1d 2470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r = y -> ( ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) <-> ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s y ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) ) )
104	103	cbvrabv 2915	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } = { y e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s y ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) }
105	54	subsubg 14918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( S ` q ) e. (SubGrp ` G ) -> ( y e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) <-> ( y e. (SubGrp ` G ) /\ y C_ ( S ` q ) ) ) )
106	40, 105	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( y e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) <-> ( y e. (SubGrp ` G ) /\ y C_ ( S ` q ) ) ) )
107	106	simprbda 607	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ y e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) -> y e. (SubGrp ` G ) )
108	107	3adant3 977	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ y e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) /\ ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s y ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) ) -> y e. (SubGrp ` G ) )
109	40	3ad2ant1 978	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ y e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) /\ ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s y ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) ) -> ( S ` q ) e. (SubGrp ` G ) )
110	106	simplbda 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ y e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) -> y C_ ( S ` q ) )
111	110	3adant3 977	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ y e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) /\ ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s y ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) ) -> y C_ ( S ` q ) )
112		ressabs 13482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( S ` q ) e. (SubGrp ` G ) /\ y C_ ( S ` q ) ) -> ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s y ) = ( G ↾s y ) )
113	109, 111, 112	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ y e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) /\ ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s y ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) ) -> ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s y ) = ( G ↾s y ) )
114		simp3 959	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ y e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) /\ ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s y ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) ) -> ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s y ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) )
115	113, 114	eqeltrrd 2479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ y e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) /\ ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s y ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) ) -> ( G ↾s y ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) )
116		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( r = y -> ( G ↾s r ) = ( G ↾s y ) )
117	116	eleq1d 2470	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r = y -> ( ( G ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) <-> ( G ↾s y ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) ) )
118	117, 41	elrab2 3054	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. C <-> ( y e. (SubGrp ` G ) /\ ( G ↾s y ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) ) )
119	108, 115, 118	sylanbrc 646	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ y e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) /\ ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s y ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) ) -> y e. C )
120	119	rabssdv 3383	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> { y e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s y ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } C_ C )
121	104, 120	syl5eqss 3352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } C_ C )
122		sswrd 11692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } C_ C -> Word { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } C_ Word C )
123	121, 122	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> Word { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } C_ Word C )
124	123	sselda 3308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ s e. Word { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } ) -> s e. Word C )
125	101, 124	jctild 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ s e. Word { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } ) -> ( ( ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s /\ ( ( G ↾s ( S ` q ) ) DProd s ) = ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) -> ( s e. Word C /\ ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` q ) ) ) ) )
126	125	expimpd 587	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( ( s e. Word { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } /\ ( ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s /\ ( ( G ↾s ( S ` q ) ) DProd s ) = ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) ) -> ( s e. Word C /\ ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` q ) ) ) ) )
127	126	reximdv2 2775	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( E. s e. Word { r e. (SubGrp ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) | ( ( G ↾s ( S ` q ) ) ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) } ( ( G ↾s ( S ` q ) ) dom DProd s /\ ( ( G ↾s ( S ` q ) ) DProd s ) = ( Base ` ( G ↾s ( S ` q ) ) ) ) -> E. s e. Word C ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` q ) ) ) )
128	83, 127	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> E. s e. Word C ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` q ) ) )
129		rabn0 3607	. . . . . . 7 |- ( { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` q ) ) } =/= (/) <-> E. s e. Word C ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` q ) ) )
130	128, 129	sylibr 204	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` q ) ) } =/= (/) )
131	50, 130	eqnetrd 2585	. . . . 5 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> { y e. Word C | y e. ( W ` ( S ` q ) ) } =/= (/) )
132		rabn0 3607	. . . . 5 |- ( { y e. Word C | y e. ( W ` ( S ` q ) ) } =/= (/) <-> E. y e. Word C y e. ( W ` ( S ` q ) ) )
133	131, 132	sylib 189	. . . 4 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> E. y e. Word C y e. ( W ` ( S ` q ) ) )
134	133	ralrimiva 2749	. . 3 |- ( ph -> A. q e. A E. y e. Word C y e. ( W ` ( S ` q ) ) )
135		eleq1 2464	. . . 4 |- ( y = ( f ` q ) -> ( y e. ( W ` ( S ` q ) ) <-> ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) )
136	135	ac6sfi 7310	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ A. q e. A E. y e. Word C y e. ( W ` ( S ` q ) ) ) -> E. f ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) )
137	26, 134, 136	syl2anc 643	. 2 |- ( ph -> E. f ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) )
138		sneq 3785	. . . . . . . . 9 |- ( q = y -> { q } = { y } )
139		fveq2 5687	. . . . . . . . . 10 |- ( q = y -> ( f ` q ) = ( f ` y ) )
140	139	dmeqd 5031	. . . . . . . . 9 |- ( q = y -> dom ( f ` q ) = dom ( f ` y ) )
141	138, 140	xpeq12d 4862	. . . . . . . 8 |- ( q = y -> ( { q } X. dom ( f ` q ) ) = ( { y } X. dom ( f ` y ) ) )
142	141	cbviunv 4090	. . . . . . 7 |- U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) = U_ y e. A ( { y } X. dom ( f ` y ) )
143	26	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) ) -> A e. Fin )
144		snfi 7146	. . . . . . . . . 10 |- { y } e. Fin
145		simprl 733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) ) -> f : A -->Word C )
146	145	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) ) /\ y e. A ) -> ( f ` y ) e. Word C )
147		wrdf 11688	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` y ) e. Word C -> ( f ` y ) : ( 0..^ ( # ` ( f ` y ) ) ) --> C )
148		fdm 5554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` y ) : ( 0..^ ( # ` ( f ` y ) ) ) --> C -> dom ( f ` y ) = ( 0..^ ( # ` ( f ` y ) ) ) )
149	146, 147, 148	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) ) /\ y e. A ) -> dom ( f ` y ) = ( 0..^ ( # ` ( f ` y ) ) ) )
150		fzofi 11268	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0..^ ( # ` ( f ` y ) ) ) e. Fin
151	149, 150	syl6eqel 2492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) ) /\ y e. A ) -> dom ( f ` y ) e. Fin )
152		xpfi 7337	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { y } e. Fin /\ dom ( f ` y ) e. Fin ) -> ( { y } X. dom ( f ` y ) ) e. Fin )
153	144, 151, 152	sylancr 645	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) ) /\ y e. A ) -> ( { y } X. dom ( f ` y ) ) e. Fin )
154	153	ralrimiva 2749	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) ) -> A. y e. A ( { y } X. dom ( f ` y ) ) e. Fin )
155		iunfi 7353	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Fin /\ A. y e. A ( { y } X. dom ( f ` y ) ) e. Fin ) -> U_ y e. A ( { y } X. dom ( f ` y ) ) e. Fin )
156	143, 154, 155	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) ) -> U_ y e. A ( { y } X. dom ( f ` y ) ) e. Fin )
157	142, 156	syl5eqel 2488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) ) -> U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) e. Fin )
158		hashcl 11594	. . . . . 6 |- ( U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) e. Fin -> ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) e. NN0 )
159		hashfzo0 11650	. . . . . 6 |- ( ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) e. NN0 -> ( # ` ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) ) = ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) )
160	157, 158, 159	3syl 19	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) ) -> ( # ` ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) ) = ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) )
161		fzofi 11268	. . . . . 6 |- ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) e. Fin
162		hashen 11586	. . . . . 6 |- ( ( ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) e. Fin /\ U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) e. Fin ) -> ( ( # ` ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) ) = ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) <-> ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) ~~ U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) )
163	161, 157, 162	sylancr 645	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) ) -> ( ( # ` ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) ) = ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) <-> ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) ~~ U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) )
164	160, 163	mpbid 202	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) ) -> ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) ~~ U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) )
165		bren 7076	. . . 4 |- ( ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) ~~ U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) <-> E. h h : ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -1-1-onto-> U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) )
166	164, 165	sylib 189	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) ) -> E. h h : ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -1-1-onto-> U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) )
167	6	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) /\ h : ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -1-1-onto-> U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -> G e. Abel )
168	11	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) /\ h : ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -1-1-onto-> U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -> B e. Fin )
169		breq1 4175	. . . . . . . 8 |- ( w = a -> ( w || ( # ` B ) <-> a || ( # ` B ) ) )
170	169	cbvrabv 2915	. . . . . . 7 |- { w e. Prime | w || ( # ` B ) } = { a e. Prime | a || ( # ` B ) }
171	2, 170	eqtri 2424	. . . . . 6 |- A = { a e. Prime | a || ( # ` B ) }
172		fveq2 5687	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = c -> ( O ` x ) = ( O ` c ) )
173	172	breq1d 4182	. . . . . . . . . 10 |- ( x = c -> ( ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) <-> ( O ` c ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) ) )
174	173	cbvrabv 2915	. . . . . . . . 9 |- { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } = { c e. B | ( O ` c ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) }
175		id 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p = b -> p = b )
176		oveq1 6047	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p = b -> ( p pCnt ( # ` B ) ) = ( b pCnt ( # ` B ) ) )
177	175, 176	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = b -> ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) = ( b ^ ( b pCnt ( # ` B ) ) ) )
178	177	breq2d 4184	. . . . . . . . . 10 |- ( p = b -> ( ( O ` c ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) <-> ( O ` c ) || ( b ^ ( b pCnt ( # ` B ) ) ) ) )
179	178	rabbidv 2908	. . . . . . . . 9 |- ( p = b -> { c e. B | ( O ` c ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } = { c e. B | ( O ` c ) || ( b ^ ( b pCnt ( # ` B ) ) ) } )
180	174, 179	syl5eq 2448	. . . . . . . 8 |- ( p = b -> { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } = { c e. B | ( O ` c ) || ( b ^ ( b pCnt ( # ` B ) ) ) } )
181	180	cbvmptv 4260	. . . . . . 7 |- ( p e. A |-> { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } ) = ( b e. A |-> { c e. B | ( O ` c ) || ( b ^ ( b pCnt ( # ` B ) ) ) } )
182	29, 181	eqtri 2424	. . . . . 6 |- S = ( b e. A |-> { c e. B | ( O ` c ) || ( b ^ ( b pCnt ( # ` B ) ) ) } )
183		breq2 4176	. . . . . . . . . 10 |- ( s = t -> ( G dom DProd s <-> G dom DProd t ) )
184		oveq2 6048	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = t -> ( G DProd s ) = ( G DProd t ) )
185	184	eqeq1d 2412	. . . . . . . . . 10 |- ( s = t -> ( ( G DProd s ) = g <-> ( G DProd t ) = g ) )
186	183, 185	anbi12d 692	. . . . . . . . 9 |- ( s = t -> ( ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = g ) <-> ( G dom DProd t /\ ( G DProd t ) = g ) ) )
187	186	cbvrabv 2915	. . . . . . . 8 |- { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = g ) } = { t e. Word C | ( G dom DProd t /\ ( G DProd t ) = g ) }
188	187	mpteq2i 4252	. . . . . . 7 |- ( g e. (SubGrp ` G ) |-> { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = g ) } ) = ( g e. (SubGrp ` G ) |-> { t e. Word C | ( G dom DProd t /\ ( G DProd t ) = g ) } )
189	42, 188	eqtri 2424	. . . . . 6 |- W = ( g e. (SubGrp ` G ) |-> { t e. Word C | ( G dom DProd t /\ ( G DProd t ) = g ) } )
190		simprll 739	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) /\ h : ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -1-1-onto-> U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -> f : A -->Word C )
191		simprlr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) /\ h : ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -1-1-onto-> U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -> A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) )
192		fveq2 5687	. . . . . . . . . 10 |- ( q = y -> ( S ` q ) = ( S ` y ) )
193	192	fveq2d 5691	. . . . . . . . 9 |- ( q = y -> ( W ` ( S ` q ) ) = ( W ` ( S ` y ) ) )
194	139, 193	eleq12d 2472	. . . . . . . 8 |- ( q = y -> ( ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) <-> ( f ` y ) e. ( W ` ( S ` y ) ) ) )
195	194	cbvralv 2892	. . . . . . 7 |- ( A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) <-> A. y e. A ( f ` y ) e. ( W ` ( S ` y ) ) )
196	191, 195	sylib 189	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) /\ h : ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -1-1-onto-> U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -> A. y e. A ( f ` y ) e. ( W ` ( S ` y ) ) )
197		simprr 734	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) /\ h : ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -1-1-onto-> U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -> h : ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -1-1-onto-> U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) )
198	8, 41, 167, 168, 28, 171, 182, 189, 190, 196, 142, 197	ablfaclem2 15599	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) /\ h : ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -1-1-onto-> U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -> ( W ` B ) =/= (/) )
199	198	expr 599	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) ) -> ( h : ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -1-1-onto-> U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) -> ( W ` B ) =/= (/) ) )
200	199	exlimdv 1643	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) ) -> ( E. h h : ( 0..^ ( # ` U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) ) ) -1-1-onto-> U_ q e. A ( { q } X. dom ( f ` q ) ) -> ( W ` B ) =/= (/) ) )
201	166, 200	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ ( f : A -->Word C /\ A. q e. A ( f ` q ) e. ( W ` ( S ` q ) ) ) ) -> ( W ` B ) =/= (/) )
202	137, 201	exlimddv 1645	1 |- ( ph -> ( W ` B ) =/= (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   E.wex 1547   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916   i^i cin 3279   C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   U_ciun 4053   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   X. cxp 4835   dom cdm 4837   ran crn 4838   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ~~ cen 7065   Fincfn 7068   0cc0 8946   1c1 8947   <_ cle 9077   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ...cfz 10999  ..^cfzo 11090   ^cexp 11337   #chash 11573  Word cword 11672   || cdivides 12807   Primecprime 13034   pCnt cpc 13165   Basecbs 13424   ↾_s cress 13425   Grpcgrp 14640  SubGrpcsubg 14893   odcod 15118   pGrp cpgp 15120   Abelcabel 15368  CycGrpccyg 15442   DProd cdprd 15509

This theorem is referenced by:  ablfac  15601

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-rpss 6481  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-word 11678  df-concat 11679  df-s1 11680  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-pc 13166  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-eqg 14898  df-ghm 14959  df-gim 15001  df-ga 15022  df-cntz 15071  df-oppg 15097  df-od 15122  df-gex 15123  df-pgp 15124  df-lsm 15225  df-pj1 15226  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-cyg 15443  df-dprd 15511