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Theorem ablfaclem2 16712
Description: Lemma for ablfac 16714. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablfac.c  |-  C  =  { r  e.  (SubGrp `  G )  |  ( Gs  r )  e.  (CycGrp 
i^i  ran pGrp  ) }
ablfac.1  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
ablfac.2  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
ablfac.o  |-  O  =  ( od `  G
)
ablfac.a  |-  A  =  { w  e.  Prime  |  w  ||  ( # `  B ) }
ablfac.s  |-  S  =  ( p  e.  A  |->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
ablfac.w  |-  W  =  ( g  e.  (SubGrp `  G )  |->  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  g ) } )
ablfaclem2.f  |-  ( ph  ->  F : A -->Word  C )
ablfaclem2.q  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  ( F `  y )  e.  ( W `  ( S `  y ) ) )
ablfaclem2.l  |-  L  = 
U_ y  e.  A  ( { y }  X.  dom  ( F `  y
) )
ablfaclem2.g  |-  ( ph  ->  H : ( 0..^ ( # `  L
) ) -1-1-onto-> L )
Assertion
Ref Expression
ablfaclem2  |-  ( ph  ->  ( W `  B
)  =/=  (/) )
Distinct variable groups:    s, p, x, y, A    F, s    g, r, s, y, S   
g, p, w, x, B, r, s    O, p, x    C, g, p, s    y, w, C, x    W, p, w, x, y    H, s    ph, p, s, w, x, y    g, G, p, r, s, w, x, y
Allowed substitution hints:    ph( g, r)    A( w, g, r)    B( y)    C( r)    S( x, w, p)    F( x, y, w, g, r, p)    H( x, y, w, g, r, p)    L( x, y, w, g, s, r, p)    O( y, w, g, s, r)    W( g, s, r)

Proof of Theorem ablfaclem2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfac.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
2 ablgrp 16406 . . 3  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
3 ablfac.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
43subgid 15805 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  e.  (SubGrp `  G )
)
5 ablfac.c . . . 4  |-  C  =  { r  e.  (SubGrp `  G )  |  ( Gs  r )  e.  (CycGrp 
i^i  ran pGrp  ) }
6 ablfac.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
7 ablfac.o . . . 4  |-  O  =  ( od `  G
)
8 ablfac.a . . . 4  |-  A  =  { w  e.  Prime  |  w  ||  ( # `  B ) }
9 ablfac.s . . . 4  |-  S  =  ( p  e.  A  |->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
10 ablfac.w . . . 4  |-  W  =  ( g  e.  (SubGrp `  G )  |->  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  g ) } )
113, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10ablfaclem1 16711 . . 3  |-  ( B  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( W `  B )  =  {
s  e. Word  C  | 
( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  B ) } )
121, 2, 4, 114syl 21 . 2  |-  ( ph  ->  ( W `  B
)  =  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  B ) } )
13 ablfaclem2.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : A -->Word  C )
1413ffvelrnda 5955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y )  e. Word  C )
15 wrdf 12361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  y )  e. Word  C  ->  ( F `  y ) : ( 0..^ (
# `  ( F `  y ) ) ) --> C )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y ) : ( 0..^ (
# `  ( F `  y ) ) ) --> C )
17 fdm 5674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  y ) : ( 0..^ (
# `  ( F `  y ) ) ) --> C  ->  dom  ( F `
 y )  =  ( 0..^ ( # `  ( F `  y
) ) ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  dom  ( F `  y )  =  ( 0..^ (
# `  ( F `  y ) ) ) )
1918feq2d 5658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( F `  y
) : dom  ( F `  y ) --> C 
<->  ( F `  y
) : ( 0..^ ( # `  ( F `  y )
) ) --> C ) )
2016, 19mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y ) : dom  ( F `  y ) --> C )
2120ffvelrnda 5955 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  dom  ( F `  y ) )  -> 
( ( F `  y ) `  z
)  e.  C )
2221anasss 647 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  dom  ( F `  y ) ) )  ->  ( ( F `
 y ) `  z )  e.  C
)
2322ralrimivva 2914 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  A. z  e.  dom  ( F `  y ) ( ( F `  y ) `  z
)  e.  C )
24 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `
 y )  |->  ( ( F `  y
) `  z )
)  =  ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `
 y )  |->  ( ( F `  y
) `  z )
)
2524fmpt2x 6753 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  A  A. z  e.  dom  ( F `
 y ) ( ( F `  y
) `  z )  e.  C  <->  ( y  e.  A ,  z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) ) : U_ y  e.  A  ( { y }  X.  dom  ( F `  y )
) --> C )
2623, 25sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) ) : U_ y  e.  A  ( { y }  X.  dom  ( F `  y
) ) --> C )
27 ablfaclem2.l . . . . . . . 8  |-  L  = 
U_ y  e.  A  ( { y }  X.  dom  ( F `  y
) )
2827feq2i 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A , 
z  e.  dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `  z
) ) : L --> C 
<->  ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) ) : U_ y  e.  A  ( { y }  X.  dom  ( F `  y
) ) --> C )
2926, 28sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) ) : L --> C )
30 ablfaclem2.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H : ( 0..^ ( # `  L
) ) -1-1-onto-> L )
31 f1of 5752 . . . . . . 7  |-  ( H : ( 0..^ (
# `  L )
)
-1-1-onto-> L  ->  H : ( 0..^ ( # `  L
) ) --> L )
3230, 31syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H : ( 0..^ ( # `  L
) ) --> L )
33 fco 5679 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) ) : L --> C  /\  H : ( 0..^ ( # `  L
) ) --> L )  ->  ( ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `
 y )  |->  ( ( F `  y
) `  z )
)  o.  H ) : ( 0..^ (
# `  L )
) --> C )
3429, 32, 33syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A ,  z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) )  o.  H ) : ( 0..^ ( # `  L ) ) --> C )
35 iswrdi 12360 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) )  o.  H
) : ( 0..^ ( # `  L
) ) --> C  -> 
( ( y  e.  A ,  z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) )  o.  H )  e. Word  C )
3634, 35syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A ,  z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) )  o.  H )  e. Word  C )
37 ablfaclem2.q . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  ( F `  y )  e.  ( W `  ( S `  y ) ) )
3837r19.21bi 2920 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y )  e.  ( W `  ( S `  y )
) )
39 ssrab2 3548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { w  e.  Prime  |  w  ||  ( # `  B ) }  C_  Prime
408, 39eqsstri 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  A  C_  Prime
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  C_  Prime )
423, 7, 9, 1, 6, 41ablfac1b 16696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
43 fvex 5812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Base `  G )  e.  _V
443, 43eqeltri 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  B  e. 
_V
4544rabex 4554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  ( p ^ (
p  pCnt  ( # `  B
) ) ) }  e.  _V
4645, 9dmmpti 5651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  dom  S  =  A
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  S  =  A )
4842, 47dprdf2 16616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  S : A --> (SubGrp `  G ) )
4948ffvelrnda 5955 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( S `  y )  e.  (SubGrp `  G )
)
503, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10ablfaclem1 16711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S `  y )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( W `  ( S `  y
) )  =  {
s  e. Word  C  | 
( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  ( S `  y ) ) } )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( W `  ( S `  y ) )  =  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s
)  =  ( S `
 y ) ) } )
5238, 51eleqtrd 2544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y )  e.  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s
)  =  ( S `
 y ) ) } )
53 breq2 4407 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  ( F `  y )  ->  ( G dom DProd  s  <->  G dom DProd  ( F `  y ) ) )
54 oveq2 6211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  ( F `  y )  ->  ( G DProd  s )  =  ( G DProd  ( F `  y ) ) )
5554eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  ( F `  y )  ->  (
( G DProd  s )  =  ( S `  y )  <->  ( G DProd  ( F `  y ) )  =  ( S `
 y ) ) )
5653, 55anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  ( F `  y )  ->  (
( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  ( S `  y ) )  <->  ( G dom DProd  ( F `  y
)  /\  ( G DProd  ( F `  y ) )  =  ( S `
 y ) ) ) )
5756elrab 3224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  y )  e.  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd 
s )  =  ( S `  y ) ) }  <->  ( ( F `  y )  e. Word  C  /\  ( G dom DProd  ( F `  y )  /\  ( G DProd  ( F `  y
) )  =  ( S `  y ) ) ) )
5857simprbi 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  y )  e.  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd 
s )  =  ( S `  y ) ) }  ->  ( G dom DProd  ( F `  y )  /\  ( G DProd  ( F `  y
) )  =  ( S `  y ) ) )
5952, 58syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( G dom DProd  ( F `  y )  /\  ( G DProd  ( F `  y
) )  =  ( S `  y ) ) )
6059simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  G dom DProd  ( F `  y
) )
61 dprdf 16615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G dom DProd  ( F `  y )  ->  ( F `  y ) : dom  ( F `  y ) --> (SubGrp `  G ) )
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y ) : dom  ( F `  y ) --> (SubGrp `  G ) )
6362ffvelrnda 5955 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  dom  ( F `  y ) )  -> 
( ( F `  y ) `  z
)  e.  (SubGrp `  G ) )
6463anasss 647 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  dom  ( F `  y ) ) )  ->  ( ( F `
 y ) `  z )  e.  (SubGrp `  G ) )
6562feqmptd 5856 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y )  =  ( z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) ) )
6660, 65breqtrd 4427 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  G dom DProd  ( z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) ) )
6748feqmptd 5856 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  =  ( y  e.  A  |->  ( S `
 y ) ) )
6865oveq2d 6219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( G DProd  ( F `  y
) )  =  ( G DProd  ( z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) ) ) )
6959simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( G DProd  ( F `  y
) )  =  ( S `  y ) )
7068, 69eqtr3d 2497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( G DProd  ( z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) ) )  =  ( S `  y
) )
7170mpteq2dva 4489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( G DProd  ( z  e.  dom  ( F `
 y )  |->  ( ( F `  y
) `  z )
) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( S `  y
) ) )
7267, 71eqtr4d 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  =  ( y  e.  A  |->  ( G DProd 
( z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) ) ) ) )
7342, 72breqtrd 4427 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( y  e.  A  |->  ( G DProd 
( z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) ) ) ) )
7464, 66, 73dprd2d2 16668 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `
 y )  |->  ( ( F `  y
) `  z )
)  /\  ( G DProd  ( y  e.  A , 
z  e.  dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `  z
) ) )  =  ( G DProd  ( y  e.  A  |->  ( G DProd 
( z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) ) ) ) ) ) )
7574simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( y  e.  A ,  z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) ) )
76 fdm 5674 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A , 
z  e.  dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `  z
) ) : L --> C  ->  dom  ( y  e.  A ,  z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) )  =  L )
7729, 76syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( y  e.  A ,  z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) )  =  L )
7875, 77, 30dprdf1o 16654 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( ( y  e.  A , 
z  e.  dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `  z
) )  o.  H
)  /\  ( G DProd  ( ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) )  o.  H
) )  =  ( G DProd  ( y  e.  A ,  z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) ) ) ) )
7978simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( (
y  e.  A , 
z  e.  dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `  z
) )  o.  H
) )
8078simprd 463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( ( y  e.  A , 
z  e.  dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `  z
) )  o.  H
) )  =  ( G DProd  ( y  e.  A ,  z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) ) ) )
8174simprd 463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `
 y )  |->  ( ( F `  y
) `  z )
) )  =  ( G DProd  ( y  e.  A  |->  ( G DProd  (
z  e.  dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `  z
) ) ) ) ) )
8272oveq2d 6219 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G DProd  S )  =  ( G DProd  (
y  e.  A  |->  ( G DProd  ( z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) ) ) ) ) )
83 ssid 3486 . . . . . . . 8  |-  A  C_  A
8483a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  A )
853, 7, 9, 1, 6, 41, 8, 84ablfac1c 16697 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G DProd  S )  =  B )
8682, 85eqtr3d 2497 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( y  e.  A  |->  ( G DProd 
( z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) ) ) ) )  =  B )
8780, 81, 863eqtrd 2499 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( ( y  e.  A , 
z  e.  dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `  z
) )  o.  H
) )  =  B )
88 breq2 4407 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `
 y )  |->  ( ( F `  y
) `  z )
)  o.  H )  ->  ( G dom DProd  s  <-> 
G dom DProd  ( (
y  e.  A , 
z  e.  dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `  z
) )  o.  H
) ) )
89 oveq2 6211 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `
 y )  |->  ( ( F `  y
) `  z )
)  o.  H )  ->  ( G DProd  s
)  =  ( G DProd 
( ( y  e.  A ,  z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) )  o.  H ) ) )
9089eqeq1d 2456 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `
 y )  |->  ( ( F `  y
) `  z )
)  o.  H )  ->  ( ( G DProd 
s )  =  B  <-> 
( G DProd  ( (
y  e.  A , 
z  e.  dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `  z
) )  o.  H
) )  =  B ) )
9188, 90anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( s  =  ( ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `
 y )  |->  ( ( F `  y
) `  z )
)  o.  H )  ->  ( ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  B )  <->  ( G dom DProd  ( ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) )  o.  H
)  /\  ( G DProd  ( ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) )  o.  H
) )  =  B ) ) )
9291rspcev 3179 . . . 4  |-  ( ( ( ( y  e.  A ,  z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) )  o.  H )  e. Word  C  /\  ( G dom DProd  ( ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) )  o.  H
)  /\  ( G DProd  ( ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) )  o.  H
) )  =  B ) )  ->  E. s  e. Word  C ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s
)  =  B ) )
9336, 79, 87, 92syl12anc 1217 . . 3  |-  ( ph  ->  E. s  e. Word  C
( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  B ) )
94 rabn0 3768 . . 3  |-  ( { s  e. Word  C  | 
( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  B ) }  =/=  (/)  <->  E. s  e. Word  C ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  B ) )
9593, 94sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s
)  =  B ) }  =/=  (/) )
9612, 95eqnetrd 2745 1  |-  ( ph  ->  ( W `  B
)  =/=  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   {crab 2803   _Vcvv 3078    i^i cin 3438    C_ wss 3439   (/)c0 3748   {csn 3988   U_ciun 4282   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461    X. cxp 4949   dom cdm 4951   ran crn 4952    o. ccom 4955   -->wf 5525   -1-1-onto->wf1o 5528   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    |-> cmpt2 6205   Fincfn 7423   0cc0 9396  ..^cfzo 11668   ^cexp 11985   #chash 12223  Word cword 12342    || cdivides 13656   Primecprime 13884    pCnt cpc 14024   Basecbs 14295   ↾s cress 14296   Grpcgrp 15532  SubGrpcsubg 15797   odcod 16152   pGrp cpgp 16154   Abelcabel 16402  CycGrpccyg 16478   DProd cdprd 16600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-disj 4374  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-tpos 6858  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-omul 7038  df-er 7214  df-ec 7216  df-qs 7220  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-acn 8226  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-fl 11762  df-mod 11829  df-seq 11927  df-exp 11986  df-fac 12172  df-bc 12199  df-hash 12224  df-word 12350  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-clim 13087  df-sum 13285  df-dvds 13657  df-gcd 13812  df-prm 13885  df-pc 14025  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-mhm 15586  df-submnd 15587  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-sbg 15669  df-mulg 15670  df-subg 15800  df-eqg 15802  df-ghm 15867  df-gim 15909  df-ga 15930  df-cntz 15957  df-oppg 15983  df-od 16156  df-lsm 16259  df-pj1 16260  df-cmn 16403  df-abl 16404  df-dprd 16602
This theorem is referenced by:  ablfaclem3  16713
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