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Theorem ablfaclem2 16951
Description: Lemma for ablfac 16953. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablfac.c  |-  C  =  { r  e.  (SubGrp `  G )  |  ( Gs  r )  e.  (CycGrp 
i^i  ran pGrp  ) }
ablfac.1  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
ablfac.2  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
ablfac.o  |-  O  =  ( od `  G
)
ablfac.a  |-  A  =  { w  e.  Prime  |  w  ||  ( # `  B ) }
ablfac.s  |-  S  =  ( p  e.  A  |->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
ablfac.w  |-  W  =  ( g  e.  (SubGrp `  G )  |->  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  g ) } )
ablfaclem2.f  |-  ( ph  ->  F : A -->Word  C )
ablfaclem2.q  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  ( F `  y )  e.  ( W `  ( S `  y ) ) )
ablfaclem2.l  |-  L  = 
U_ y  e.  A  ( { y }  X.  dom  ( F `  y
) )
ablfaclem2.g  |-  ( ph  ->  H : ( 0..^ ( # `  L
) ) -1-1-onto-> L )
Assertion
Ref Expression
ablfaclem2  |-  ( ph  ->  ( W `  B
)  =/=  (/) )
Distinct variable groups:    s, p, x, y, A    F, s    g, r, s, y, S   
g, p, w, x, B, r, s    O, p, x    C, g, p, s    y, w, C, x    W, p, w, x, y    H, s    ph, p, s, w, x, y    g, G, p, r, s, w, x, y
Allowed substitution hints:    ph( g, r)    A( w, g, r)    B( y)    C( r)    S( x, w, p)    F( x, y, w, g, r, p)    H( x, y, w, g, r, p)    L( x, y, w, g, s, r, p)    O( y, w, g, s, r)    W( g, s, r)

Proof of Theorem ablfaclem2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfac.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
2 ablgrp 16618 . . 3  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
3 ablfac.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
43subgid 16017 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  e.  (SubGrp `  G )
)
5 ablfac.c . . . 4  |-  C  =  { r  e.  (SubGrp `  G )  |  ( Gs  r )  e.  (CycGrp 
i^i  ran pGrp  ) }
6 ablfac.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
7 ablfac.o . . . 4  |-  O  =  ( od `  G
)
8 ablfac.a . . . 4  |-  A  =  { w  e.  Prime  |  w  ||  ( # `  B ) }
9 ablfac.s . . . 4  |-  S  =  ( p  e.  A  |->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
10 ablfac.w . . . 4  |-  W  =  ( g  e.  (SubGrp `  G )  |->  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  g ) } )
113, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10ablfaclem1 16950 . . 3  |-  ( B  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( W `  B )  =  {
s  e. Word  C  | 
( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  B ) } )
121, 2, 4, 114syl 21 . 2  |-  ( ph  ->  ( W `  B
)  =  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  B ) } )
13 ablfaclem2.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : A -->Word  C )
1413ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y )  e. Word  C )
15 wrdf 12520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  y )  e. Word  C  ->  ( F `  y ) : ( 0..^ (
# `  ( F `  y ) ) ) --> C )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y ) : ( 0..^ (
# `  ( F `  y ) ) ) --> C )
17 fdm 5735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  y ) : ( 0..^ (
# `  ( F `  y ) ) ) --> C  ->  dom  ( F `
 y )  =  ( 0..^ ( # `  ( F `  y
) ) ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  dom  ( F `  y )  =  ( 0..^ (
# `  ( F `  y ) ) ) )
1918feq2d 5718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( F `  y
) : dom  ( F `  y ) --> C 
<->  ( F `  y
) : ( 0..^ ( # `  ( F `  y )
) ) --> C ) )
2016, 19mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y ) : dom  ( F `  y ) --> C )
2120ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  dom  ( F `  y ) )  -> 
( ( F `  y ) `  z
)  e.  C )
2221anasss 647 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  dom  ( F `  y ) ) )  ->  ( ( F `
 y ) `  z )  e.  C
)
2322ralrimivva 2885 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  A. z  e.  dom  ( F `  y ) ( ( F `  y ) `  z
)  e.  C )
24 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `
 y )  |->  ( ( F `  y
) `  z )
)  =  ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `
 y )  |->  ( ( F `  y
) `  z )
)
2524fmpt2x 6851 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  A  A. z  e.  dom  ( F `
 y ) ( ( F `  y
) `  z )  e.  C  <->  ( y  e.  A ,  z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) ) : U_ y  e.  A  ( { y }  X.  dom  ( F `  y )
) --> C )
2623, 25sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) ) : U_ y  e.  A  ( { y }  X.  dom  ( F `  y
) ) --> C )
27 ablfaclem2.l . . . . . . . 8  |-  L  = 
U_ y  e.  A  ( { y }  X.  dom  ( F `  y
) )
2827feq2i 5724 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A , 
z  e.  dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `  z
) ) : L --> C 
<->  ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) ) : U_ y  e.  A  ( { y }  X.  dom  ( F `  y
) ) --> C )
2926, 28sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) ) : L --> C )
30 ablfaclem2.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H : ( 0..^ ( # `  L
) ) -1-1-onto-> L )
31 f1of 5816 . . . . . . 7  |-  ( H : ( 0..^ (
# `  L )
)
-1-1-onto-> L  ->  H : ( 0..^ ( # `  L
) ) --> L )
3230, 31syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H : ( 0..^ ( # `  L
) ) --> L )
33 fco 5741 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) ) : L --> C  /\  H : ( 0..^ ( # `  L
) ) --> L )  ->  ( ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `
 y )  |->  ( ( F `  y
) `  z )
)  o.  H ) : ( 0..^ (
# `  L )
) --> C )
3429, 32, 33syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A ,  z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) )  o.  H ) : ( 0..^ ( # `  L ) ) --> C )
35 iswrdi 12519 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) )  o.  H
) : ( 0..^ ( # `  L
) ) --> C  -> 
( ( y  e.  A ,  z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) )  o.  H )  e. Word  C )
3634, 35syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A ,  z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) )  o.  H )  e. Word  C )
37 ablfaclem2.q . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  ( F `  y )  e.  ( W `  ( S `  y ) ) )
3837r19.21bi 2833 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y )  e.  ( W `  ( S `  y )
) )
39 ssrab2 3585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { w  e.  Prime  |  w  ||  ( # `  B ) }  C_  Prime
408, 39eqsstri 3534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  A  C_  Prime
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  C_  Prime )
423, 7, 9, 1, 6, 41ablfac1b 16935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
43 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Base `  G )  e.  _V
443, 43eqeltri 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  B  e. 
_V
4544rabex 4598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  ( p ^ (
p  pCnt  ( # `  B
) ) ) }  e.  _V
4645, 9dmmpti 5710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  dom  S  =  A
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  S  =  A )
4842, 47dprdf2 16855 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  S : A --> (SubGrp `  G ) )
4948ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( S `  y )  e.  (SubGrp `  G )
)
503, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10ablfaclem1 16950 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S `  y )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( W `  ( S `  y
) )  =  {
s  e. Word  C  | 
( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  ( S `  y ) ) } )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( W `  ( S `  y ) )  =  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s
)  =  ( S `
 y ) ) } )
5238, 51eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y )  e.  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s
)  =  ( S `
 y ) ) } )
53 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  ( F `  y )  ->  ( G dom DProd  s  <->  G dom DProd  ( F `  y ) ) )
54 oveq2 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  ( F `  y )  ->  ( G DProd  s )  =  ( G DProd  ( F `  y ) ) )
5554eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  ( F `  y )  ->  (
( G DProd  s )  =  ( S `  y )  <->  ( G DProd  ( F `  y ) )  =  ( S `
 y ) ) )
5653, 55anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  ( F `  y )  ->  (
( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  ( S `  y ) )  <->  ( G dom DProd  ( F `  y
)  /\  ( G DProd  ( F `  y ) )  =  ( S `
 y ) ) ) )
5756elrab 3261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  y )  e.  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd 
s )  =  ( S `  y ) ) }  <->  ( ( F `  y )  e. Word  C  /\  ( G dom DProd  ( F `  y )  /\  ( G DProd  ( F `  y
) )  =  ( S `  y ) ) ) )
5857simprbi 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  y )  e.  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd 
s )  =  ( S `  y ) ) }  ->  ( G dom DProd  ( F `  y )  /\  ( G DProd  ( F `  y
) )  =  ( S `  y ) ) )
5952, 58syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( G dom DProd  ( F `  y )  /\  ( G DProd  ( F `  y
) )  =  ( S `  y ) ) )
6059simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  G dom DProd  ( F `  y
) )
61 dprdf 16854 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G dom DProd  ( F `  y )  ->  ( F `  y ) : dom  ( F `  y ) --> (SubGrp `  G ) )
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y ) : dom  ( F `  y ) --> (SubGrp `  G ) )
6362ffvelrnda 6022 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  dom  ( F `  y ) )  -> 
( ( F `  y ) `  z
)  e.  (SubGrp `  G ) )
6463anasss 647 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  dom  ( F `  y ) ) )  ->  ( ( F `
 y ) `  z )  e.  (SubGrp `  G ) )
6562feqmptd 5921 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y )  =  ( z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) ) )
6660, 65breqtrd 4471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  G dom DProd  ( z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) ) )
6748feqmptd 5921 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  =  ( y  e.  A  |->  ( S `
 y ) ) )
6865oveq2d 6301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( G DProd  ( F `  y
) )  =  ( G DProd  ( z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) ) ) )
6959simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( G DProd  ( F `  y
) )  =  ( S `  y ) )
7068, 69eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( G DProd  ( z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) ) )  =  ( S `  y
) )
7170mpteq2dva 4533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( G DProd  ( z  e.  dom  ( F `
 y )  |->  ( ( F `  y
) `  z )
) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( S `  y
) ) )
7267, 71eqtr4d 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  =  ( y  e.  A  |->  ( G DProd 
( z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) ) ) ) )
7342, 72breqtrd 4471 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( y  e.  A  |->  ( G DProd 
( z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) ) ) ) )
7464, 66, 73dprd2d2 16907 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `
 y )  |->  ( ( F `  y
) `  z )
)  /\  ( G DProd  ( y  e.  A , 
z  e.  dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `  z
) ) )  =  ( G DProd  ( y  e.  A  |->  ( G DProd 
( z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) ) ) ) ) ) )
7574simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( y  e.  A ,  z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) ) )
76 fdm 5735 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A , 
z  e.  dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `  z
) ) : L --> C  ->  dom  ( y  e.  A ,  z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) )  =  L )
7729, 76syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( y  e.  A ,  z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) )  =  L )
7875, 77, 30dprdf1o 16893 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( ( y  e.  A , 
z  e.  dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `  z
) )  o.  H
)  /\  ( G DProd  ( ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) )  o.  H
) )  =  ( G DProd  ( y  e.  A ,  z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) ) ) ) )
7978simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( (
y  e.  A , 
z  e.  dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `  z
) )  o.  H
) )
8078simprd 463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( ( y  e.  A , 
z  e.  dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `  z
) )  o.  H
) )  =  ( G DProd  ( y  e.  A ,  z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) ) ) )
8174simprd 463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `
 y )  |->  ( ( F `  y
) `  z )
) )  =  ( G DProd  ( y  e.  A  |->  ( G DProd  (
z  e.  dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `  z
) ) ) ) ) )
8272oveq2d 6301 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G DProd  S )  =  ( G DProd  (
y  e.  A  |->  ( G DProd  ( z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) ) ) ) ) )
83 ssid 3523 . . . . . . . 8  |-  A  C_  A
8483a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  A )
853, 7, 9, 1, 6, 41, 8, 84ablfac1c 16936 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G DProd  S )  =  B )
8682, 85eqtr3d 2510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( y  e.  A  |->  ( G DProd 
( z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) ) ) ) )  =  B )
8780, 81, 863eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( ( y  e.  A , 
z  e.  dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `  z
) )  o.  H
) )  =  B )
88 breq2 4451 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `
 y )  |->  ( ( F `  y
) `  z )
)  o.  H )  ->  ( G dom DProd  s  <-> 
G dom DProd  ( (
y  e.  A , 
z  e.  dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `  z
) )  o.  H
) ) )
89 oveq2 6293 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `
 y )  |->  ( ( F `  y
) `  z )
)  o.  H )  ->  ( G DProd  s
)  =  ( G DProd 
( ( y  e.  A ,  z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) )  o.  H ) ) )
9089eqeq1d 2469 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `
 y )  |->  ( ( F `  y
) `  z )
)  o.  H )  ->  ( ( G DProd 
s )  =  B  <-> 
( G DProd  ( (
y  e.  A , 
z  e.  dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `  z
) )  o.  H
) )  =  B ) )
9188, 90anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( s  =  ( ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `
 y )  |->  ( ( F `  y
) `  z )
)  o.  H )  ->  ( ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  B )  <->  ( G dom DProd  ( ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) )  o.  H
)  /\  ( G DProd  ( ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) )  o.  H
) )  =  B ) ) )
9291rspcev 3214 . . . 4  |-  ( ( ( ( y  e.  A ,  z  e. 
dom  ( F `  y )  |->  ( ( F `  y ) `
 z ) )  o.  H )  e. Word  C  /\  ( G dom DProd  ( ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) )  o.  H
)  /\  ( G DProd  ( ( y  e.  A ,  z  e.  dom  ( F `  y ) 
|->  ( ( F `  y ) `  z
) )  o.  H
) )  =  B ) )  ->  E. s  e. Word  C ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s
)  =  B ) )
9336, 79, 87, 92syl12anc 1226 . . 3  |-  ( ph  ->  E. s  e. Word  C
( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  B ) )
94 rabn0 3805 . . 3  |-  ( { s  e. Word  C  | 
( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  B ) }  =/=  (/)  <->  E. s  e. Word  C ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  B ) )
9593, 94sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s
)  =  B ) }  =/=  (/) )
9612, 95eqnetrd 2760 1  |-  ( ph  ->  ( W `  B
)  =/=  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   U_ciun 4325   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   dom cdm 4999   ran crn 5000    o. ccom 5003   -->wf 5584   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    |-> cmpt2 6287   Fincfn 7517   0cc0 9493  ..^cfzo 11793   ^cexp 12135   #chash 12374  Word cword 12501    || cdivides 13850   Primecprime 14079    pCnt cpc 14222   Basecbs 14493   ↾s cress 14494   Grpcgrp 15730  SubGrpcsubg 16009   odcod 16364   pGrp cpgp 16366   Abelcabl 16614  CycGrpccyg 16695   DProd cdprd 16839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-tpos 6956  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-omul 7136  df-er 7312  df-ec 7314  df-qs 7318  df-map 7423  df-pm 7424  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-acn 8324  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-fl 11898  df-mod 11966  df-seq 12077  df-exp 12136  df-fac 12323  df-bc 12350  df-hash 12375  df-word 12509  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-sum 13475  df-dvds 13851  df-gcd 14007  df-prm 14080  df-pc 14223  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-mnd 15735  df-mhm 15789  df-submnd 15790  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-sbg 15873  df-mulg 15874  df-subg 16012  df-eqg 16014  df-ghm 16079  df-gim 16121  df-ga 16142  df-cntz 16169  df-oppg 16195  df-od 16368  df-lsm 16471  df-pj1 16472  df-cmn 16615  df-abl 16616  df-dprd 16841
This theorem is referenced by:  ablfaclem3  16952
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