Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ablfac2 17800
 Description: Choose generators for each cyclic group in ablfac 17799. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac.b
ablfac.c SubGrp s CycGrp pGrp
ablfac.1
ablfac.2
ablfac2.m .g
ablfac2.s
Assertion
Ref Expression
ablfac2 Word DProd DProd
Distinct variable groups:   ,   ,,,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,)   (,)

Proof of Theorem ablfac2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrdf 12723 . . . . . . . 8 Word ..^
21ad2antlr 741 . . . . . . 7 Word DProd DProd ..^
3 fdm 5745 . . . . . . 7 ..^ ..^
42, 3syl 17 . . . . . 6 Word DProd DProd ..^
5 fzofi 12225 . . . . . 6 ..^
64, 5syl6eqel 2557 . . . . 5 Word DProd DProd
74feq2d 5725 . . . . . . . . . . 11 Word DProd DProd ..^
82, 7mpbird 240 . . . . . . . . . 10 Word DProd DProd
98ffvelrnda 6037 . . . . . . . . 9 Word DProd DProd
10 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12 s s
1110eleq1d 2533 . . . . . . . . . . 11 s CycGrp pGrp s CycGrp pGrp
12 ablfac.c . . . . . . . . . . 11 SubGrp s CycGrp pGrp
1311, 12elrab2 3186 . . . . . . . . . 10 SubGrp s CycGrp pGrp
1413simplbi 467 . . . . . . . . 9 SubGrp
159, 14syl 17 . . . . . . . 8 Word DProd DProd SubGrp
16 ablfac.b . . . . . . . . 9
1716subgss 16896 . . . . . . . 8 SubGrp
1815, 17syl 17 . . . . . . 7 Word DProd DProd
19 inss1 3643 . . . . . . . . . . 11 CycGrp pGrp CycGrp
2013simprbi 471 . . . . . . . . . . . 12 s CycGrp pGrp
219, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 Word DProd DProd s CycGrp pGrp
2219, 21sseldi 3416 . . . . . . . . . 10 Word DProd DProd s CycGrp
23 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12 s s
24 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12 .gs .gs
2523, 24iscyg 17592 . . . . . . . . . . 11 s CycGrp s s .gs s
2625simprbi 471 . . . . . . . . . 10 s CycGrp s .gs s
2722, 26syl 17 . . . . . . . . 9 Word DProd DProd s .gs s
28 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12 s s
2928subgbas 16899 . . . . . . . . . . 11 SubGrp s
3015, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 Word DProd DProd s
3130rexeqdv 2980 . . . . . . . . 9 Word DProd DProd .gs s s .gs s
3227, 31mpbird 240 . . . . . . . 8 Word DProd DProd .gs s
3315ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13 Word DProd DProd SubGrp
34 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13 Word DProd DProd
35 simplr 770 . . . . . . . . . . . . 13 Word DProd DProd
36 ablfac2.m . . . . . . . . . . . . . 14 .g
3736, 28, 24subgmulg 16909 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp .gs
3833, 34, 35, 37syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12 Word DProd DProd .gs
3938mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . 11 Word DProd DProd .gs
4039rneqd 5068 . . . . . . . . . 10 Word DProd DProd .gs
4130adantr 472 . . . . . . . . . 10 Word DProd DProd s
4240, 41eqeq12d 2486 . . . . . . . . 9 Word DProd DProd .gs s
4342rexbidva 2889 . . . . . . . 8 Word DProd DProd .gs s
4432, 43mpbird 240 . . . . . . 7 Word DProd DProd
45 ssrexv 3480 . . . . . . 7
4618, 44, 45sylc 61 . . . . . 6 Word DProd DProd
4746ralrimiva 2809 . . . . 5 Word DProd DProd
48 oveq2 6316 . . . . . . . . 9
4948mpteq2dv 4483 . . . . . . . 8
5049rneqd 5068 . . . . . . 7
5150eqeq1d 2473 . . . . . 6
5251ac6sfi 7833 . . . . 5
536, 47, 52syl2anc 673 . . . 4 Word DProd DProd
54 simprl 772 . . . . . . . . 9 Word DProd DProd
554adantr 472 . . . . . . . . . 10 Word DProd DProd ..^
5655feq2d 5725 . . . . . . . . 9 Word DProd DProd ..^
5754, 56mpbid 215 . . . . . . . 8 Word DProd DProd ..^
58 iswrdi 12722 . . . . . . . 8 ..^ Word
5957, 58syl 17 . . . . . . 7 Word DProd DProd Word
60 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^
6157, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 Word DProd DProd ..^
6261, 55eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . 12 Word DProd DProd
6362eleq2d 2534 . . . . . . . . . . 11 Word DProd DProd
6463biimpa 492 . . . . . . . . . 10 Word DProd DProd
65 simprr 774 . . . . . . . . . . . 12 Word DProd DProd
66 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6766fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6867oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6968mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . . . . . 15
7069rneqd 5068 . . . . . . . . . . . . . 14
71 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14
7270, 71eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . 13
7372rspccva 3135 . . . . . . . . . . . 12
7465, 73sylan 479 . . . . . . . . . . 11 Word DProd DProd
758adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 Word DProd DProd
7675ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . 11 Word DProd DProd
7774, 76eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10 Word DProd DProd
7864, 77syldan 478 . . . . . . . . 9 Word DProd DProd
79 ablfac2.s . . . . . . . . . 10
80 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14
8180oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13
8281mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . 12
8382rneqd 5068 . . . . . . . . . . 11
8483cbvmptv 4488 . . . . . . . . . 10
8579, 84eqtri 2493 . . . . . . . . 9
8678, 85fmptd 6061 . . . . . . . 8 Word DProd DProd
87 simprl 772 . . . . . . . . . 10 Word DProd DProd DProd
8887adantr 472 . . . . . . . . 9 Word DProd DProd DProd
8962raleqdv 2979 . . . . . . . . . . . . 13 Word DProd DProd
9065, 89mpbird 240 . . . . . . . . . . . 12 Word DProd DProd
91 mpteq12 4475 . . . . . . . . . . . 12
9262, 90, 91syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11 Word DProd DProd
9379, 92syl5eq 2517 . . . . . . . . . 10 Word DProd DProd
94 dprdf 17716 . . . . . . . . . . . 12 DProd SubGrp
9588, 94syl 17 . . . . . . . . . . 11 Word DProd DProd SubGrp
9695feqmptd 5932 . . . . . . . . . 10 Word DProd DProd
9793, 96eqtr4d 2508 . . . . . . . . 9 Word DProd DProd
9888, 97breqtrrd 4422 . . . . . . . 8 Word DProd DProd DProd
9997oveq2d 6324 . . . . . . . . 9 Word DProd DProd DProd DProd
100 simplrr 779 . . . . . . . . 9 Word DProd DProd DProd
10199, 100eqtrd 2505 . . . . . . . 8 Word DProd DProd DProd
10286, 98, 1013jca 1210 . . . . . . 7 Word DProd DProd DProd DProd
10359, 102jca 541 . . . . . 6 Word DProd DProd Word DProd DProd
104103ex 441 . . . . 5 Word DProd DProd Word DProd DProd
105104eximdv 1772 . . . 4 Word DProd DProd Word DProd DProd
10653, 105mpd 15 . . 3 Word DProd DProd Word DProd DProd
107 df-rex 2762 . . 3 Word DProd DProd Word DProd DProd
108106, 107sylibr 217 . 2 Word DProd DProd Word DProd DProd
109 ablfac.1 . . 3
110 ablfac.2 . . 3
11116, 12, 109, 110ablfac 17799 . 2 Word DProd DProd
112108, 111r19.29a 2918 1 Word DProd DProd
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757  crab 2760   cin 3389   wss 3390   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839   crn 4840  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  cc0 9557  cz 10961  ..^cfzo 11942  chash 12553  Word cword 12703  cbs 15199   ↾s cress 15200  cgrp 16747  .gcmg 16750  SubGrpcsubg 16889   pGrp cpgp 17247  cabl 17509  CycGrpccyg 17590   DProd cdprd 17703 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-rpss 6590  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-word 12711  df-concat 12713  df-s1 12714  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-eqg 16894  df-ghm 16959  df-gim 17001  df-ga 17022  df-cntz 17049  df-oppg 17075  df-od 17250  df-gex 17252  df-pgp 17254  df-lsm 17366  df-pj1 17367  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-cyg 17591  df-dprd 17705 This theorem is referenced by:  dchrpt  24274
 Copyright terms: Public domain W3C validator